Рассмотреть предел выражения

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ — Пределы функций

Рассмотрим предел следующего выражения:

 \lim_{x \to \frac{n}{6}} \frac{1 - 2\sin x}{\cos 3x} 

Шаг 1: Подстановка значения предела

Подставим x = \frac{n}{6} в числитель и знаменатель:

• Числитель: 1 - 2\sin\left(\frac{n}{6}\right)
• Знаменатель: \cos\left(3 \cdot \frac{n}{6}\right) = \cos\left(\frac{n}{2}\right)

Чтобы продолжить, нужно понимать, что означает n. Если это константа, например, n = \pi, n = 0, или n = \frac{\pi}{2}, тогда можно конкретно подставить и вычислить. Но если это переменная, то нужно уточнение.

Предположим, что n — это кратное \pi, например, n = \pi.

Тогда:

• x = \frac{\pi}{6}
• \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}
• \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0

Подставим:

• Числитель: 1 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 0
• Знаменатель: \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0

Получили неопределенность вида \frac{0}{0}. Значит, нужно применять правило Лопиталя.

Шаг 2: Применим правило Лопиталя

Дифференцируем числитель и знаменатель по x:

• Числитель: \frac{d}{dx}(1 - 2\sin x) = -2\cos x
• Знаменатель: \frac{d}{dx}(\cos 3x) = -3\sin 3x

Теперь предел:

 \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{-2\cos x}{-3\sin 3x} = \frac{2\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)}{3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \cdot 1} = \frac{\sqrt{3}}{3} 

Ответ:

 \boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}} 

Если n — другое значение, укажи его, и я пересчитаю предел.