Рассмотреть предел

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (Пределы и правило Лопиталя)

Задание:

Рассмотрим предел:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \arctg x \right)^{\frac{1}{2 \ln x}} 

Шаг 1: Преобразуем степень

В выражении присутствует степенная функция. Чтобы упростить её анализ, применим логарифмирование. Обозначим:

 y = \left( \arctg x \right)^{\frac{1}{2 \ln x}} 

Возьмем натуральный логарифм от обеих частей:

 \ln y = \frac{1}{2 \ln x} \cdot \ln (\arctg x) 

Теперь нам нужно найти предел:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln (\arctg x)}{2 \ln x} 

Шаг 2: Исследуем числитель и знаменатель

Рассмотрим поведение функции \arctg x при x \to +\infty. Известно, что:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \arctg x = \frac{\pi}{2} 

Следовательно, \ln (\arctg x) при больших x стремится к \ln \frac{\pi}{2}. Однако, так как \arctg x стремится к \frac{\pi}{2} асимптотически, запишем разложение:

 \arctg x \approx \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x}, \quad x \to +\infty 

Тогда:

 \ln (\arctg x) \approx \ln \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x} \right) 

Используем приближенное разложение \ln (a - b) \approx \ln a + \frac{-b}{a} при малых b:

 \ln (\arctg x) \approx \ln \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x \cdot (\pi/2)} 

При больших x слагаемое \frac{1}{x \cdot (\pi/2)} стремится к нулю, а значит:

 \ln (\arctg x) \approx \ln \frac{\pi}{2} 

Шаг 3: Вычисляем предел

Теперь рассмотрим предел:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln (\arctg x)}{2 \ln x} 

Подставляя приближенное выражение:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln \frac{\pi}{2} - \frac{1}{x \cdot (\pi/2)}}{2 \ln x} 

Так как \ln \frac{\pi}{2} — это константа, то при x \to +\infty дробь стремится к нулю:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\ln \frac{\pi}{2}}{2 \ln x} = 0 

Шаг 4: Возвращаемся к y

Так как \ln y \to 0, то:

 y = e^{\ln y} \to e^0 = 1 

Ответ:

 \lim\limits_{x \to +\infty} \left( \arctg x \right)^{\frac{1}{2 \ln x}} = 1