Рассмотреть функцию

Давай разберем этот вопрос. Судя по формулировке задания, оно относится к математическому анализу, а именно к изучению непрерывности функции. Функция, которую нужно рассмотреть, задана как: \[ y = \frac{1}{x^2 + 3}. \]

1. Определяем область определения функции

Область определения функции — это те значения \( x \), при которых выражение \( x^2 + 3 \neq 0 \). В данном случае знаменатель \( x^2 + 3 \) никогда не равен нулю, потому что:

1. Квадрат числа (\( x^2 \)) всегда неотрицателен (\( x^2 \geq 0 \)).
2. Если к нему прибавить 3 (\( x^2 + 3\)), результат окажется строго положительным (\( x^2 + 3 > 0 \)).

Таким образом, знаменатель никогда не обнуляется, и \( y \) определена для всех значений \( x \in \mathbb{R} \).

2. Исследование непрерывности

Функция \( y(x) = \frac{1}{x^2 + 3} \) представляет собой отношение числителя (константы \( 1 \)) и знаменателя (\( x^2 + 3 \)), который не равен нулю на всей числовой прямой.

1. \( x^2 + 3 \) — это многочлен второй степени, а многочлены непрерывны везде.
2. Деление непрерывных функций (\( 1 / (x^2 + 3) \)) на функцию, не равняющуюся нулю, сохраняет непрерывность.

Таким образом, поскольку все части функции \( y \) определены и непрерывны для всех \( x \), то и сама функция \( y(x) = \frac{1}{x^2 + 3} \) непрерывна во всех точках.

Ответ:

Функция \( y(x) = \frac{1}{x^2 + 3} \) не имеет разрывов и является непрерывной на всей числовой прямой \( x \in \mathbb{R} \).

Область непрерывности: \( x \in (-\infty; +\infty) \).