Рассмотреть два ряда и исследовать их на сходимость

Предмет: Математический анализ

Раздел: Исследование рядов на сходимость

Рассмотрим два ряда и исследуем их на сходимость.

(a) Исследуем ряд

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{n^2}{3^n + 2^n} 

Этот ряд является знакопеременным, поэтому применим признак Лейбница:
Знакопеременный ряд  \sum (-1)^n a_n  сходится, если:

1.  a_n  убывает, то есть  a_{n+1} \leq a_n .
2.  \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 .

Рассмотрим последовательность:
 a_n = \frac{n^2}{3^n + 2^n} .

1. Проверка убывания:

   • В знаменателе экспоненциальные функции растут быстрее, чем полиномы в числителе.
   • Следовательно,  a_n  убывает при больших  n .

2. Предел:

   • Так как  3^n + 2^n \approx 3^n  при больших  n ,
     то  a_n \approx \frac{n^2}{3^n} .
   • Так как  3^n  растет быстрее, чем  n^2 ,
     то  \lim\limits_{n \to \infty} a_n = 0 .

Оба условия признака Лейбница выполнены, значит, ряд сходится.

(б) Исследуем ряд

 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{(3n+1) \sqrt{\ln n}} 

Этот ряд также знакопеременный, поэтому применим признак Лейбница.

Рассмотрим последовательность:
 a_n = \frac{1}{(3n+1) \sqrt{\ln n}} .

1. Проверка убывания:

   • Функция  (3n+1) \sqrt{\ln n}  возрастает при больших  n .
   • Следовательно,  a_n  убывает.

2. Предел:

   • Так как  (3n+1) \sqrt{\ln n} \to \infty  при  n \to \infty ,
     то  a_n \to 0 .

Оба условия признака Лейбница выполнены, значит, ряд сходится.

Ответ:

Оба ряда сходятся по признаку Лейбница.