Расписать факториал

Это задание относится к разделу "Ряды" предмета "Математика", обычно рассматриваемое в курсе математического анализа или высшей математики.

Для начала распишем факториал (2n+3)!: Факториал (2n+3)! определяется как произведение всех целых чисел от 1 до (2n+3). (2n+3)! = (2n+3) \times (2n+2) \times (2n+1) \times (2n) \times \cdots \times 3 \times 2 \times 1

Чтобы объяснить это более понятно, рассмотрим конкретный пример для n = 1:

(2 \cdot 1 + 3)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

Для n = 2:

(2 \cdot 2 + 3)! = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040

Теперь вернемся к вашему выражению:

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-3)^n}{(2n+1)!}

Для этого примера, выявим первые несколько членов ряда:

Для n = 1:

\frac{(-3)^1}{(2 \cdot 1 + 1)!} = \frac{-3}{3!} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}

Для n = 2:

\frac{(-3)^2}{(2 \cdot 2 + 1)!} = \frac{9}{5!} = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}

Для n = 3:

\frac{(-3)^3}{(2 \cdot 3 + 1)!} = \frac{-27}{7!} = \frac{-27}{5040} = -\frac{27}{5040} = -\frac{9}{1680} = -\frac{3}{560}

Таким образом, первые три члена ряда будут:

-\frac{1}{2}, \frac{3}{40}, -\frac{3}{560}

Для общего случая, полный факториал для произвольного n продолжает умножаться на каждое следующее число до (2n+3). Надеюсь, это объяснение поможет вам понять, как работают факториалы и как расписывается ряд в этом примере.