Работа с полиномиальной функцией комплексного переменного

Определение предмета и раздела

Данный вопрос относится к комплексному анализу, который является разделом высшей математики. Конкретно тут требуется работа с полиномиальной функцией комплексного переменного, а именно нахождение нулей функции и их порядка.

Задание

Функция представлена в виде \[ f(z) = (z^2 + 4)^3 (z - 1). \]

1. Поиск нулей функции

Нули функции определяются из уравнения \(f(z) = 0\). Это означает, что произведение множителей должно быть равно нулю: \[ (z^2 + 4)^3 (z - 1) = 0. \]

Каждый множитель приравниваем к нулю:

1. \( (z^2 + 4)^3 = 0 \)
2. \( z - 1 = 0 \).

Первый множитель

\[ z^2 + 4 = 0 \implies z^2 = -4 \implies z = \pm 2i, \] где \(i = \sqrt{-1}\). Следовательно, \(z_1 = 2i\) и \(z_2 = -2i\) — нули, которые являются корнями квадратного уравнения.

Второй множитель

\[ z - 1 = 0 \implies z = 1. \] Этот нуль очевиден.

2. Определение порядка нулей

1. У корней \(z = \pm 2i\), которые возникают из множителя \( (z^2 + 4)^3 \), порядок равен 3 (поскольку степень множителя равна 3).
   • \(z_1 = 2i\), порядок 3.
   • \(z_2 = -2i\), порядок 3.
2. У корня \(z = 1\), который возникает из множителя \(z - 1\), порядок равен 1 (поскольку степень множителя равна 1).
   • \(z_3 = 1\), порядок 1.

Ответ

• Нули функции: \(z_1 = 2i\), \(z_2 = -2i\), \(z_3 = 1\).
• Порядки:
  • У нуля \(z_1 = 2i\): порядок 3.
  • У нуля \(z_2 = -2i\): порядок 3.
  • У нуля \(z_3 = 1\): порядок 1.