Работа с натуральными логарифмами (логарифмические выражения) и преобразования дробных выражений

Давайте разберёмся с вашим запросом.

---

Определение предмета и раздела

• Предмет: Математика
• Раздел: Математический анализ, а точнее работа с натуральными логарифмами (логарифмические выражения) и преобразования дробных выражений.

---

Ваше выражение: \[ \frac{\ln(x^3) + 2}{x \cdot \ln(x)}, \] где \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \), потому что \(\ln(x)\) не определен при \(x \leq 0\), а при \(x = 1\) значение логарифма равно \(0\), и в знаменателе появляется деление на ноль.

---

Решение

Мы упростим данное выражение. Давайте действовать шаг за шагом.

1. Перепишем числитель: Напомним, что для логарифмов существует полезная формула: \[ \ln(a^b) = b \cdot \ln(a), \] поэтому \(\ln(x^3)\) можно преобразовать так: \[ \ln(x^3) = 3 \ln(x). \]

   Таким образом, числитель переписывается: \[ \ln(x^3) + 2 = 3 \ln(x) + 2. \]

2. Перепишем дробь целиком: Выражение теперь выглядит так: \[ \frac{3 \ln(x) + 2}{x \cdot \ln(x)}. \]

3. Разделим каждое слагаемое числителя на знаменатель: Мы можем записать дробь в виде суммы двух дробей: \[ \frac{3 \ln(x)}{x \cdot \ln(x)} + \frac{2}{x \cdot \ln(x)}. \]

4. Упростим каждую дробь:

   • Первая дробь: \[ \frac{3 \ln(x)}{x \cdot \ln(x)} = \frac{3}{x}, \] так как \(\ln(x)\) в числителе и знаменателе сокращаются.
   • Вторая дробь: \[ \frac{2}{x \cdot \ln(x)} \] остаётся без изменений.

5. Объединяем результат: Выражение упрощается до: \[ \frac{3}{x} + \frac{2}{x \cdot \ln(x)}. \]

---

Итоговый ответ:

\[ \frac{3}{x} + \frac{2}{x \cdot \ln(x)}. \]

---

Дополнительное объяснение:

• При работе с логарифмами важно помнить их основные свойства, такие как:
• \[ \ln(a^b) = b \ln(a), \quad \ln(a) + \ln(b) = \ln(a \cdot b), \quad \ln(a) - \ln(b) = \ln\left(\frac{a}{b}\right). \]
• После упрощения дробей мы сократили одинаковые множители в числителе и знаменателе.