Провести полное исследование функции и построить график

Предмет: математика, раздел - анализ функций. Исследуем функцию $\text{(}f(x)=\sqrt[3]{(x-6)x^2}\text{)}$.

1. Область определения функции: $\text{[}f(x)принимаетлюбоезначение\text{ на всей оси }x,\text{ поскольку обе части множителя }(x-6)\text{ и }{x}^2\text{являются алгебраическими выражениями.}\text{]}$ Следовательно, область определения функции: $\text{(}x\in (-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })\text{)}$.

2. Нахождение промежутков знакопостоянства: Рассмотрим функцию внутри корня: $\text{[}h(x)=(x-6)x^2.\text{]}$

• $\text{(}x=0\text{)}$ и $\text{(}x=6\text{)}$ - это корни $\text{(}h(x)\text{)}$.
• $\text{(}x<0\text{)}$: $\text{(}(x-6)\text{)}$ отрицательно, $\text{(}{x}^2\text{)}$ положительно, следовательно, $\text{(}h(x)\text{)}$ отрицательное.
• $\text{(}0<x<6\text{)}$: $\text{(}(x-6)\text{)}$ отрицательно, $\text{(}{x}^2\text{)}$ положительно, следовательно, $\text{(}h(x)\text{)}$ отрицательное.
• $\text{(}x>6\text{)}$: $\text{(}(x-6)\text{)}$ положительно, $\text{(}{x}^2\text{)}$ положительно, следовательно, $\text{(}h(x)\text{)}$ положительное.

Таким образом, $\text{(}f(x)\text{)}$ отрицательна на промежутках $\text{(}x<6\text{)}$ и положительна при $\text{(}x>6\text{)}$.

3. Симметричность функции: Функция $\text{(}f(x)\text{)}$ не является четной или нечетной, поскольку симметричность не соблюдается при $\text{(}f(-x)\ne f(x)\text{)}$ и $\text{(}f(-x)\ne -f(x)\text{)}$.

4. Критические точки и экстремумы: Найдем производную функции: $\text{[}{f}^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left(\sqrt[3]{(x-6)x^2}\right).\text{]}$ Прежде, чем найти производную, удобно заменить $\text{(}y=(x-6)x^2\text{)}$: $\text{[}f(x)=y^{1/3},\text{]}$ $\text{[}{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{3}{y}^{-2/3}\cdot y^{\prime }.\text{]}$ Найдём производную $\text{(}{y}^{\prime }\text{)}$: $\text{[}y=(x-6)x^2,\text{]}$ $\text{[}{y}^{\prime }=2x(x-6)+x^2=3x^2-12x.\text{]}$ Таким образом: $\text{[}{f}^{\prime }(x)=\frac{1}{3}((x-6)x^2{)}^{-2/3}(3x^2-12x).\text{]}$ Теперь находим критические точки: $\text{[}{f}^{\prime }(x)=0,\text{]}$ $\text{[}(3x^2-12x)=0.\text{]}$ $\text{[}3x(x-4)=0,\text{]}$ $\text{(}x=0\text{)}$ текст{ или } $\text{(}x=4.\text{)}$ Рассмотрим вторую производную $\text{(}{f}^{″}(x)\text{)}$ для поиска вида экстремумов (минимум или максимум): $\text{[}{f}^{″}(x)=\text{]}$

5. Асимптоты: Так как функция определена на всей числовой прямой, вертикальных асимптот нет. Также не определяются горизонтальные или наклонные асимптоты.

6. Построение графика функции: Построим график $\text{(}f(x)=\sqrt[3]{(x-6)x^2}\text{)}$, сфокусировавшись на различных интервалах рассмотренной функции. График будет иметь вертикальную асимптоту в точке $\text{(}x=6\text{)}$ и перейдет в положительные значения при $\text{(}x\text{)}$. Советую использовать графопостроители, такие как Desmos или GeoGebra, для более наглядного изображения.