Провести полное исследование функции и построить график

Предмет: математика, раздел - анализ функций. Исследуем функцию \( f(x) = \sqrt[3]{(x-6)x^2} \).

1. Область определения функции: \[ f(x)\ принимает любое значение \text{ на всей оси } x, \text{ поскольку обе части множителя }(x-6)\text{ и } x^2 \text{ } \text{являются алгебраическими выражениями.} \] Следовательно, область определения функции: \( x \in (-\infty, +\infty) \).

2. Нахождение промежутков знакопостоянства: Рассмотрим функцию внутри корня: \[ h(x) = (x-6)x^2. \]

• \( x = 0 \) и \( x = 6 \) - это корни \( h(x) \).
• \( x < 0 \): \((x-6)\) отрицательно, \( x^2 \) положительно, следовательно, \( h(x) \) отрицательное.
• \( 0 < x < 6 \): \((x-6)\) отрицательно, \( x^2 \) положительно, следовательно, \( h(x) \) отрицательное.
• \( x > 6 \): \((x-6)\) положительно, \( x^2 \) положительно, следовательно, \( h(x) \) положительное.

Таким образом, \( f(x) \) отрицательна на промежутках \( x < 6 \) и положительна при \( x > 6 \).

3. Симметричность функции: Функция \( f(x) \) не является четной или нечетной, поскольку симметричность не соблюдается при \( f(-x) \neq f(x) \) и \( f(-x) \neq -f(x) \).

4. Критические точки и экстремумы: Найдем производную функции: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \sqrt[3]{(x-6)x^2} \right). \] Прежде, чем найти производную, удобно заменить \( y = (x-6)x^2 \): \[ f(x) = y^{1/3}, \] \[ f'(x) = \frac{1}{3} y^{-2/3} \cdot y'. \] Найдём производную \( y' \): \[ y = (x-6)x^2,\] \[ y' = 2x(x-6) + x^2 = 3x^2 - 12x. \] Таким образом: \[ f'(x) = \frac{1}{3}((x-6)x^2)^{-2/3}(3x^2 - 12x). \] Теперь находим критические точки: \[ f'(x) = 0, \] \[ (3x^2 - 12x) = 0. \] \[ 3x(x - 4) = 0, \] \( x = 0 \) текст{ или } \( x = 4. \) Рассмотрим вторую производную \( f''(x) \) для поиска вида экстремумов (минимум или максимум): \[ f''(x) = \]

5. Асимптоты: Так как функция определена на всей числовой прямой, вертикальных асимптот нет. Также не определяются горизонтальные или наклонные асимптоты.

6. Построение графика функции: Построим график \( f(x) = \sqrt[3]{(x-6)x^2} \), сфокусировавшись на различных интервалах рассмотренной функции. График будет иметь вертикальную асимптоту в точке \( x = 6 \) и перейдет в положительные значения при \( x \). Советую использовать графопостроители, такие как Desmos или GeoGebra, для более наглядного изображения.