Провести полное исследование функции

Чтобы провести полное исследование функции, сначала необходимо указать саму функцию. Допустим, у нас есть функция \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \). Мы исследуем эту функцию по указанным пунктам.

1. Область определения и область значений

Функция \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \) является многочленом, поэтому область определения – все числа, то есть \((-∞, +∞)\). Область значений также все числа, так как кубическая функция может принимать любые значения.

2. Четность, нечетность. Периодичность

Функция нечетная, если \( f(-x) = -f(x) \), и четная, если \( f(-x) = f(x) \). Проверим:

\( f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 4 = -x^3 - 3x^2 + 4 \).

Очевидно, что \( f(-x) ≠ -f(x) \) и \( f(-x) ≠ f(x) \), что значит функция не является четной или нечетной. Кубическая функция не является периодической.

3. Пересечения с осями координат. Промежутки знакопостоянства

Для нахождения пересечения с осью Y подставляем \( x = 0 \): \( f(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 4 = 4 \). Пересечений с осью X можно найти, решив уравнение \( x^3 - 3x^2 + 4 = 0 \). Это требует более сложных методов (например, нахождения корней многочленов).

4. Монотонность. Экстремум

Находим производную: \( f'(x) = 3x^2 - 6x \). Найдем критические точки, решив уравнение \( f'(x) = 0 \):

\( 3x^2 - 6x = 0 \), \( 3x(x-2) = 0 \), \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Исследуем знак производной на интервалах \((-∞, 0)\), \( (0, 2) \), \( (2, +∞) \):

• \( f'(x) < 0 \) на \((-∞, 0)\), функция убывает.
• \( f'(x) > 0 \) на \( (0, 2) \), функция возрастает.
• \( f'(x) > 0 \) на \((2, +∞)\), функция возрастает.

Точка \( x = 0 \) является точкой минимума, а точка \( x = 2 \) не является экстремумом (поскольку производная не меняет знак).

5. Выпуклость. Точки перегиба

Вычислим вторую производную: \( f''(x) = 6x - 6 \). Найдём точки перегиба, решив уравнение: \( 6x - 6 = 0 \), \( x = 1 \).

Исследуем выпуклость на интервалах \((-∞, 1)\), \( (1, +∞) \):

• \( f''(x) < 0 \) на \((-∞, 1)\), функция вогнута.
• \( f''(x) > 0 \) на \( (1, +∞) \), функция выпуклая.

Точка \( x = 1 \) является точкой перегиба.

6. Асимптоты

Для многочленов, таких как этот, асимптот нет, так как у многочленов конечной степени отсутствуют вертикальные и наклонные асимптоты на конечных интервалах.

7. График

Рисуйте график с учетом всей найденной информации: функцию можно изобразить от руки, учитывая все критические точки, области выпуклости и вогнутости, пересечения с координатными осями и промежутки монотонности. Эти шаги помогут полностью понять характер функции и её графическое представление.