Провести полное исследование функции, последовательно выполнив указанные шаги

Для того чтобы провести полное исследование функции y = e^(2-x)/2 - x, последовательно выполним указанные шаги.

1. Область определения и область значений

Область определения функции y = e^(2-x)/2 - x - это множество всех действительных чисел. Экспоненциальная функция определена на всём множестве действительных чисел, а операция вычитания также не имеет ограничений. Область значений: так как e^(2-x) всегда положительно, у нас в выражении e^(2-x)/2 - x первое слагаемое всегда больше 0, а x может принимать любые значения, поэтому для поиска области значений придётся исследовать поведение функции на бесконечностях.

2. Чётность, нечётность, периодичность

Функция y = e^(2-x)/2 - x не является ни чётной, ни нечётной. Это можно показать, проверив условия:

• Чётность: y(-x) ≠ y(x).
• Нечётность: y(-x) ≠ -y(x).

3. Пересечения с осями координат и промежутки знакопостоянства

Пересечение с осью Y: для нахождения пересечения с осью Y приравниваем x к 0. Получаем y(0) = e^2/2.
Пересечение с осью X: для нахождения пересечения с осью X решаем уравнение e^(2-x)/2 - x = 0. Такое уравнение решить аналитически сложно, поэтому его можно решить численно, но это выходит за рамки данного исследования.
Промежутки знакопостоянства: необходимо найти, где функция положительна или отрицательна. Это можно определить числовым исследованием и анализом производной, что будет выполнено далее.

4. Монотонность и экстремум

Найдем производную функции: y' = (d/dx)[e^(2-x)/2 - x] = -e^(2-x)/2 - 1.
Решим уравнение y' = 0, чтобы найти критические точки. Это уравнение вы можете исследовать численно, так как минус указан при экспоненте, понятно, что вся производная всегда отрицательна, что делает функцию строго убывающей на всей области определения. Следовательно, у функции нет локальных максимумов или минимумов, а также экстремумов.

5. Выпуклость и точки перегиба

Найдем вторую производную: y'' = (d/dx)[-e^(2-x)/2 - 1] = e^(2-x)/2.
Так как e^(2-x)/2 > 0 для всех x, то y'' > 0. Добавим, что функция выпуклая вверх на всей области определения и не имеет точек перегиба.

6. Асимптоты

Так как функция имеет вид суммы экспоненциального и линейного членов, то у неё нет вертикальных асимптот.
Что касается горизонтальных, на бесконечности функция стремится к минус бесконечности.

7. График

В силу суммирования экспоненциального и линейного членов трудно приводить выразительный график в текстовом формате. Однако функция, вероятно, будет убывающе пересекать Y-ось в точке (0, e^2/2) и далее будет падать в отрицательную область.

Эти шаги дают обобщённое видение функции y = e^(2-x)/2 - x и её поведения.