Провести полное исследование функции и построить её график

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций)

Для задания 2.28 ( y = \frac{5x^4 + 3}{x} ) необходимо провести полное исследование функции и построить её график. Полное исследование функции включает следующие этапы:

1. Область определения

Функция задана как дробь. Для определения области определения исключим значения переменных, при которых знаменатель становится равным нулю: x \neq 0.
Следовательно, область определения функции: D(y) = \mathbb{R} \setminus \{0\}.

2. Четность/нечетность функции

Проверим четность функции. Подставим -x вместо x и упростим:  y(-x) = \frac{5(-x)^4 + 3}{-x} = \frac{5x^4 + 3}{-x} = -y(x). 
Функция является нечетной.

3. Асимптоты

Горизонтальные асимптоты:

Предел функции при x \to \pm\infty:  \lim_{x \to \pm\infty} y = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{5x^4 + 3}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} (5x^3 + \frac{3}{x}) = \pm\infty. 
Горизонтальных асимптот нет.

Вертикальные асимптоты:

При x = 0 знаменатель обращается в ноль. Проверим поведение функции около x = 0:  \lim_{x \to 0^+} y = +\infty, \quad \lim_{x \to 0^-} y = -\infty. 
Вертикальная асимптота: x = 0.

4. Производная функции

Найдём первую производную для исследования на возрастание и убывание:  y = \frac{5x^4 + 3}{x} = 5x^3 + \frac{3}{x}.  Продифференцируем:  y' = \frac{d}{dx}(5x^3) + \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{x}\right) = 15x^2 - \frac{3}{x^2}. 

Критические точки:

Найдём точки, где y' = 0:  15x^2 - \frac{3}{x^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 15x^4 = 3 \quad \Rightarrow \quad x^4 = \frac{1}{5}.   x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{5}}. 

Также добавим точку x = 0, где производная не существует.

Знаки производной:

Исследуем знак y' на промежутках:

• x \in (-\infty, -\sqrt[4]{\frac{1}{5}}),
• x \in (-\sqrt[4]{\frac{1}{5}}, 0),
• x \in (0, \sqrt[4]{\frac{1}{5}}),
• x \in (\sqrt[4]{\frac{1}{5}}, \infty).

5. Выпуклость и точки перегиба

Найдём вторую производную:  y'' = \frac{d}{dx}\left(15x^2 - \frac{3}{x^2}\right) = 30x + \frac{6}{x^3}.  Исследуем y'' на знаки для определения выпуклости и точек перегиба.

6. Построение графика

После анализа поведения функции, асимптот, промежутков возрастания/убывания и выпуклости строим график функции.

Если нужно продолжить анализ, уточните.