Провести полное исследование функции и построить ее график.

Пример 1:

Провести полное исследование функции и построить график:

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение от преподавателя:

 

 

Пример 3:

Исследовать функцию и построить график .

Решение от преподавателя:

Пример 4:

Провести полное исследование функции и построить ее график, если

Решение от преподавателя:

1) Область определения.

Решим уравнение

Значит областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента x, кроме x = 0, т.е.

2)Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.

Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:

Таким образом, точка х = 0 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальной асимптотой графика.

3) Исследуем функцию на четность (нечетность), для чего рассмотри y(-x):

Таким образом, мы видим, что и . Следовательно, функция не является четной и не является нечетной. Поэтому, делаем вывод, что график функции - общего вида.

4) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.

Приравняем к нулю

На интервалах (–∞,0) и (2,+∞) функция возрастает.

5) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:

На промежутках (– ∞, 0) и (0, + ∞) функция выпуклая.

6) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.

Таким образом, прямая y = x– наклонная асимптота графика.

7) Построение графика.

На основе обобщения результатов всех предыдущих исследований имеет вид, представленный на рисунке