Давайте проведем полное исследование функции y = 12x / (9 + x^2). Это задание относится к предмету математика, а именно к математическому анализу, который изучает свойства функций.
1. Область определения, область значений:
-
Область определения (D(y)):
Функция определена для всех значений x, так как знаменатель 9 + x^2 никогда не равен нулю для всех действительных x. Следовательно, область определения — все действительные числа,
D(y) = (-∞, +∞).
-
Область значений (E(y)):
Чтобы определить область значений, следует учесть, что из выражения
y = 12x / (9 + x^2) видно, что числитель линейный, а знаменатель всегда положительный и стремится к бесконечности, что ограничивает значение функции сверху и снизу. Однако без более детального анализа сложно сказать точно, но можно провести анализ экстремумов для нахождения края значений.
2. Четность и нечетность, периодичность:
-
Четность/нечетность: Проверим, нечетна ли функция. Для этого проверим y(-x):
y(-x) = 12(-x) / (9 + (-x)^2) = -12x / (9 + x^2). Видно, что y(-x) = -y(x), следовательно, функция нечетная.
-
Периодичность: Поскольку функция представляет собой дробно-рациональную функцию, она не является периодической.
3. Пересечения с осями координат, промежутки знакопостоянства:
-
Пересечение с осью y:
x = 0 → y = 12*0 / (9 + 0^2) = 0. Точка пересечения с осью y — (0, 0).
-
Пересечение с осью x:
12x / (9 + x^2) = 0, что эквивалентно 12x = 0, т.е., x = 0. Соответствует точке (0, 0).
-
Промежутки знакопостоянства: Исследуем знак функции, например: если x > 0, то y > 0; если x < 0, то y < 0. Следовательно, функция положительна при x > 0 и отрицательна при x < 0.
4. Монотонность и экстремумы:
-
Производная:
y' = d/dx (12x / (9 + x^2)) можно найти по правилу производной частного:
y' = [(9 + x^2)(12) - 12x(2x)] / (9 + x^2)^2 = (108 - 12x^2) / (9 + x^2)^2.
-
Критические точки:
108 = 12x^2 или x^2 = 9, отсюда x = ±3.
-
Монотонность:
- На интервале x < -3: y' > 0 (функция возрастает).
- На интервале -3 < x < 3: y' < 0 (функция убывает).
- На интервале x > 3: y' > 0 (функция возрастает).
-
Экстремумы: В точках x = -3 и x = 3 есть максимум и минимум:
- y(3) = 12*3 / (9 + 9) = 2.
- y(-3) = 12*(-3) / (9 + 9) = -2.
Следовательно, (3, 2) — минимум, (-3, -2) — максимум из-за нечетности функции.
5. Выпуклость и точки перегиба:
Нам нужно вычислить вторую производную для определения выпуклости:
y'' = производная от ((108 - 12x^2)/(9 + x^2)^2).
Выполнить второй дифференцирование и решить y'' = 0 для нахождения точек перегиба. Выпуклость и вогнутость зависят от знака второй производной на интервалах.
6. Асимптоты:
-
Горизонтальные асимптоты: Поскольку степень числителя меньше степени знаменателя, у функции
y = 12x / (9 + x^2) есть горизонтальная асимптота y = 0.
-
Вертикальных асимптот: Вертикальных асимптот нет, так как знаменатель никогда не обращается в ноль при действительных x.
7. График:
Сам график постройте, учитывая все вышеизложенные свойства. Завороты в точках экстремумов и изменение выпуклости соответствуют найденным характеристикам.