Провести исследование функции и построить ее график

Это задание относится к математике, а точнее к разделу анализа функций (математический анализ).

Здесь нам нужно провести исследование функции \( y = \frac{-2x^4}{(x+2)^3} \) и построить ее график. Исследование функции включает в себя несколько этапов, таких как нахождение области определения, симметрии, асимптот, производных и так далее.

Шаг 1: Область определения

Функция задана в виде дроби, следовательно, знаменатель не должен равняться нулю. Найдем, при каких значениях знаменатель обращается в ноль:

\[ (x+2)^3 = 0 \Rightarrow x = -2. \]

Таким образом, точка \(x = -2\) исключается из области определения функции. Следовательно, областью определения функции является:

\[ D(y) = (-\infty, -2) \cup (-2, \infty). \]

Шаг 2: Четность/Нечетность функции

Проверим, является ли функция четной или нечетной. Для этого подставим в функцию \(-x\) вместо \(x\) и посмотрим, получится ли исходная функция или её противоположность:

\[ y(-x) = \frac{-2(-x)^4}{(-x+2)^3} = \frac{-2x^4}{(-x+2)^3}. \]

Это не равно ни самой функции \(y(x)\), ни \(-y(x)\), соответственно, функция не является ни четной, ни нечетной.

Шаг 3: Асимптоты

Вертикальная асимптота

Вертикальные асимптоты могут возникнуть в точках, где знаменатель функции обращается в ноль. Мы уже нашли, что при \(x = -2\) знаменатель равен нулю. Проверим поведение функции в этой точке. При приближении \(x \to -2^\pm\), знаменатель стремится к нулю, а числитель остаётся конечным, следовательно, функция будет стремиться к бесконечности или минус бесконечности.

Значит, в точке \(x = -2\) существует вертикальная асимптота.

Горизонтальная асимптота

Чтобы найти горизонтальные асимптоты, исследуем предел функции при \(x \to \pm\infty\):

\[ \lim_{x \to \infty} y(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x^4}{(x+2)^3}. \]

Старшие степени числителя и знаменателя — это \(x^4\) и \(x^3\), соответственно, так что на бесконечности функция будет стремиться к бесконечности.

Функция не имеет горизонтальной асимптоты, так как крайние члены дают бесконечное значение.

Шаг 4: Найдём производные \(y'(x)\) и исследуем функцию на возрастание и убывание

Первая производная:

Используем правило дифференцирования дроби. Пусть \(u(x) = -2x^4\), а \(v(x) = (x+2)^3\). Тогда производная функции:

\[ y'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}. \]

Производные \(u(x)\) и \(v(x)\):

\[ u'(x) = -8x^3, \quad v'(x) = 3(x+2)^2. \]

Подставим в формулу для производной:

\[ y'(x) = \frac{-8x^3(x+2)^3 - (-2x^4) \cdot 3(x+2)^2}{(x+2)^6}. \]

Упростим числитель:

\[ y'(x) = \frac{-8x^3(x+2)^3 + 6x^4(x+2)^2}{(x+2)^6}. \]

После упрощения можно будет исследовать знаки производной, чтобы выяснить интервалы возрастания и убывания функции.

Шаг 5: Построение графика

График функции имеет вертикальную асимптоту в точке \(x = -2\). На бесконечностях функция уходит на бесконечность, так как числитель имеет большую степень \(x\), чем знаменатель.