Проверить ограниченность последовательностей

Данное задание относится к предмету математики, а конкретно к разделу математического анализа, касающемуся последовательностей. Задача требует проверки ограниченности последовательности.

Чтобы проверить, является ли последовательность ограниченной, необходимо оценить ее поведение при больших значениях \(n\). Дана последовательность: \[ a_n = \frac{5n + 1}{2n - 1} \]

Шаг 1: Найдём предел последовательности при \(n \to \infty\)

Для этого посмотрим на асимптотическое поведение выражения при больших \(n\). Мы можем выделить старшие члены числителя и знаменателя, так как они в наибольшей степени влияют на поведение последовательности при больших \(n\).

• В числителе: \(5n + 1\), старший член — это \(5n\).
• В знаменателе: \(2n - 1\), старший член — это \(2n\).

Теперь разделим и числитель, и знаменатель на \(n\):

\[ a_n = \frac{5n + 1}{2n - 1} = \frac{\frac{5n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n} - \frac{1}{n}} = \frac{5 + \frac{1}{n}}{2 - \frac{1}{n}} \]

При \(n \to \infty\), малые члены \( \frac{1}{n} \) стремятся к нулю. Таким образом, предел записи:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{5}{2} \]

Шаг 2: Проверка на ограниченность

Чтобы последовательность была ограниченной, она должна иметь верхнюю и нижнюю границу. Мы знаем, что при \(n\) стремящемся к бесконечности, последовательность стремится к \( \frac{5}{2} \approx 2.5 \). Теперь проверим значение последовательности для малых \(n\), чтобы убедиться, что она не ведет себя резко (например, не уходит к бесконечности или минус бесконечности):

• Для \(n = 1\): \(a_1 = \frac{5(1) + 1}{2(1) - 1} = \frac{6}{1} = 6\)
• Для \(n = 2\): \(a_2 = \frac{5(2) + 1}{2(2) - 1} = \frac{11}{3} \approx 3.67\)
• Для \(n = 3\): \(a_3 = \frac{5(3) + 1}{2(3) - 1} = \frac{16}{5} = 3.2\)

Последовательность убывает, и ее предел при больших \(n\) — 2.5.

Вывод

Последовательность не возрастает бесконечно и стремится к фиксированному значению. Следовательно, она ограничена сверху и снизу: сверху она ограничивается на уровне 6 (максимальное значение при малом \(n = 1\)), а снизу она стремится к \(2.5\) и не уходит к минус бесконечности.

Ответ: последовательность ограничена.