Проверить, коллинеарны ли векторы

Предмет: Линейная алгебра
Раздел: Линейная зависимость/независимость векторов

Рассмотрим вопрос №2:
Проверить, коллинеарны ли векторы a - c и b + c, где:
a = (-1, 3, 2), b = (0, 1, 1), c = (-2, 7, 5).

Решение:

1. Вычислим вектор a - c:

 a - c = (-1, 3, 2) - (-2, 7, 5) = (-1 + 2, 3 - 7, 2 - 5) = (1, -4, -3). 

2. Вычислим вектор b + c:

 b + c = (0, 1, 1) + (-2, 7, 5) = (0 - 2, 1 + 7, 1 + 5) = (-2, 8, 6). 

3. Проверим коллинеарность векторов a - c и b + c:

Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны, то есть существует число k, такое что:

 \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \frac{z_1}{z_2}, 

где (x_1, y_1, z_1) — координаты первого вектора, а (x_2, y_2, z_2) — координаты второго.

Подставим координаты:

 \frac{1}{-2} = \frac{-4}{8} = \frac{-3}{6}. 

Вычисляем каждую дробь:

• \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2},
• \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2},
• \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}.

Все три дроби равны, значит, векторы a - c и b + c коллинеарны.

Ответ:

Да, векторы a - c и b + c коллинеарны.