Проверить, дифференцируема ли функция в точке

Предмет и раздел задания:

Это контрольная работа по математике, а именно разделу "Математический анализ", тема: "Производные".

Решим задание №7:

Условие:

Проверить, дифференцируема ли функция \( f(x) \) в точке \( x_0 = 0 \), где:

\[ f(x) = \begin{cases} \ln(1 - \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x})), & \text{если } x \neq 0, \\ 0, & \text{если } x = 0. \end{cases} \]

Способ решения:

Для проверки дифференцируемости функции в точке \( x_0 = 0 \), нужно убедиться в выполнении двух условий:

1. Функция должна быть непрерывной в точке \( x = 0 \).
2. Производная должна существовать и быть определенной в этой точке.

Шаг 1. Проверка на непрерывность в точке \(x_0 = 0\):

Для этого нужно рассмотреть предел функции \( f(x) \) при \( x \to 0 \):

\[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \ln(1 - \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x})). \]

Рассмотрим выражение внутри функции \(\ln(1 - \ldots)\):

\[ x^2 \cdot \sin \frac{1}{x}, \]

где \(\sin \frac{1}{x}\) колеблется между \(-1\) и \(1\), а \(x^2 \to 0\) при \(x \to 0\). Тогда:

\[ x^2 \cdot \sin \frac{1}{x} \to 0 \quad \text{при } x \to 0. \]

Подставляя выражение, имеем:

\[ \lim_{x \to 0} \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x}) = \tan(0) = 0. \]

Тогда:

\[ \ln(1 - \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x})) \to \ln(1) = 0. \]

Таким образом, функция \(f(x)\) непрерывна в точке \(x = 0\).

Шаг 2. Проверка на существование производной в точке \(x_0 = 0\):

Производная определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}. \]

Подставляем значения \(f(x)\) при \(x \neq 0\) и \(f(0) = 0\):

\[ f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 - \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x}))}{x}. \]

Рассмотрим числитель:

\[ \ln(1 - \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x})) \approx \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x}), \]

так как \(\ln(1 + u) \approx u\) при \(u \to 0\). Тогда числитель приближенно равен:

\[ \tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x}). \]

Теперь рассмотрим знак \(\tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x})\):

• \(\sin \frac{1}{x}\) не имеет предела при \(x \to 0\), так как колеблется между \(-1\) и \(1\).
• \(\tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x})\) также непрерывно осциллирует.

Таким образом, \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(x^2 \cdot \sin \frac{1}{x})}{x}\) не существует.

Ответ на задание №7:

Функция \(f(x)\) не дифференцируема в точке \(x_0 = 0\).