Производные

Рассмотрим задание №4.

Задание №4: Найдите \( f^{-1}(y) \), если \( f(\ln 3y + e^{-3y}) = y \), при \( y \geq 0 \).

Решение:

1. Разберёмся с функцией \( f(x) \): Нам дано, что \( f(\ln 3y + e^{-3y}) = y \). Это означает, что \( x = \ln 3y + e^{-3y} \). Требуется найти \( f^{-1}(y) \), т.е. обратную функцию, которая выражает \( x \) через \( y \).

2. Обратное выражение: Обозначим: \[ x = \ln 3y + e^{-3y}. \] Отсюда \( y \) выражается как: \[ y = f^{-1}(x). \]

3. Соотношение: Решим уравнение \( x = \ln 3y + e^{-3y} \) относительно \( y \). Это сложно сделать в явном виде, так как уравнение содержит и логарифмы, и экспоненты, и не имеет аналитического решения. Такое уравнение решают численно для каждого конкретного значения \( x \).

Итог: \[ f^{-1}(x) = y. \] \( f^{-1}(x) \) — выражение, которое нужно найти, однако записать его в явном виде невозможно.

Ответ: \( f^{-1}(x) \) — это функция \( y \), которая численно определяется из уравнения \[ x = \ln 3y + e^{-3y}. \]

Этот документ представляет собой контрольную работу по математике на тему "Производные". Подраздел — математический анализ.