Произвести приближенные вычисления функции до Е=0.0001

Определение предмета и раздела

Задание относится к математике, раздел: анализ (вычисления приближённых значений функций с использованием численных методов и математических выражений).

Условие задания

Произвести приближенные вычисления значения функции \[ \frac{1}{\sqrt{e}} \] с точностью \(\varepsilon = 0.0001\).

Пошаговое решение

1. Определение числового значения \(e\)

Число \(e\) — это база натурального логарифма, которое приближённо равно: \[ e \approx 2.7182818284 \]

2. Корень квадратный из \(e\): \(\sqrt{e}\)

Посчитаем приближённое значение \(\sqrt{e}\). Для этого можем использовать метод разложения в ряд Тейлора, либо воспользоваться приближёнными значениями: \[ \sqrt{e} \approx 1.64872 \]

3. Деление 1 на \(\sqrt{e}\)

Теперь найдём: \[ \frac{1}{\sqrt{e}} \] Поделим 1 на \(1.64872\): \[ \frac{1}{1.64872} \approx 0.60653 \]

4. Проверка точности

Чтобы проверить точность приближенного решения, нужно убедиться, что разница между двумя последовательными значениями вычислений меньше \(\varepsilon\).

1. Используем более точное значение: \[ \sqrt{e} \approx 1.6487212707 \]
2. Делим: \[ \frac{1}{\sqrt{e}} = \frac{1}{1.6487212707} \approx 0.6065306597 \]
3. Разница между двумя вычислениями: \[ |0.60653 - 0.6065306597| \approx 0.0000006597 \]

Так как эта разница меньше \(\varepsilon = 0.0001\), точность достигнута.

Ответ:

\[ \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.60653 \]