Применяя внесение под знак дифференциала или используя нужную замену переменных, найти интеграл

Данный интеграл относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление".

Для решения данного интеграла применим замену переменных и внесение под знак дифференциала. Итак, интеграл имеет вид: \[ \int \frac{\cos^2(\ln x)}{x} \, dx. \]

Сделаем замену переменной: \[ t = \ln x \Rightarrow x = e^t \Rightarrow dx = e^t dt = x dt. \]

Замена переменной позволяет упростить интеграл следующим образом: \[ \int \frac{\cos^2(\ln x)}{x} \, dx = \int \cos^2(t) \, dt. \]

Теперь используем тождество для косинуса в квадрате: \[ \cos^2(t) = \frac{1 + \cos(2t)}{2}. \]

Подставим это тождество в интеграл: \[ \int \cos^2(t) \, dt = \int \frac{1 + \cos(2t)}{2} \, dt. \]

Разделим интеграл на два отдельных интеграла: \[ \int \frac{1 + \cos(2t)}{2} \, dt = \frac{1}{2} \int 1 \, dt + \frac{1}{2} \int \cos(2t) \, dt. \]

Выразим каждый из интегралов отдельно: \[ \frac{1}{2} \int 1 \, dt = \frac{1}{2} t, \] \[ \frac{1}{2} \int \cos(2t) \, dt. \]

Для второго интеграла применим замену переменной \( u = 2t \), тогда \[ du = 2 \, dt \Rightarrow dt = \frac{du}{2}. \]

Теперь интеграл примет вид: \[ \frac{1}{2} \int \cos(2t) \, dt = \frac{1}{2} \int \cos(u) \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \cos(u) \, du. \]

Находим интеграл от косинуса: \[ \frac{1}{4} \int \cos(u) \, du = \frac{1}{4} \sin(u) = \frac{1/{4} \sin(2t). \]

Итак, итоговый интеграл будет: \[ \int \cos^2(t) \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}/4} \sin(2t) + C, \] где \( C \) — константа интегрирования.

Возвращаемся к переменной \( x \): \[ t = \ln x. \]

Тогда окончательный ответ: \[ \int \frac{\cos^2(\ln x)}{x} \, dx = \frac{1}/2} \ln x + \frac{1}/4} \sin(2 \ln x) + C. \]

Таким образом, мы нашли интеграл, используя замену переменной и тождества тригонометрических функций.