Применяя формулу интегрирования по частям найти следующие определенные интегралы

Это задание по математике, раздел – интегральное исчисление.

Для решения данного определенного интеграла необходимо применить формулу интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид: $\text{[}{\int }_a^{b}udv={u\cdot v|}_a^b-{\int }_a^{b}vdu.\text{]}$

Рассмотрим интеграл: $\text{[}{\int }_0^{\sqrt{3}}x\arctan (x)dx.\text{]}$ Выберем $\text{(}u=\arctan (x)\text{)}$ и $\text{(}dv=xdx\text{)}$. Тогда $\text{(}du=\frac{1}{1+x^2}dx\text{)}$ и $\text{(}v=\frac{x^2}{2}\text{)}$.

Теперь применим формулу интегрирования по частям: $\text{[}{\int }_0^{\sqrt{3}}x\arctan (x)dx={\arctan (x)\cdot \frac{x^2}{2}|}_0^{\sqrt{3}}-{\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{1+x^2}dx.\text{]}$

Рассчитаем первую часть: $\text{[}{\arctan (x)\cdot \frac{x^2}{2}|}_0^{\sqrt{3}}=(\arctan (\sqrt{3})\cdot \frac{(\sqrt{3}{)}^2}{2})-(\arctan (0)\cdot \frac{0^2}{2}).\text{]}$

Известно, что $\text{(}\arctan (\sqrt{3})=\frac{\pi }{3}\text{)}$ и $\text{(}\arctan (0)=0\text{)}$. Подставим эти значения: $\text{[}(\frac{\pi }{3}\cdot \frac{3}{2})-(0\cdot 0)=\frac{\pi }{2}.\text{]}$

Теперь решим второй интеграл: $\text{[}{\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{1+x^2}dx=\frac{1}{2}{\int }_0^{\sqrt{3}}\frac{x^2}{1+x^2}dx.\text{]}$ Используем замену переменных $\text{(}t=1+x^2\text{)}$, тогда $\text{(}dt=2xdx\text{)}$. Так как $\text{(}x=\sqrt{t-1}\text{)}$, то пределы интегрирования изменятся следующим образом:

• при $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}t=1\text{)}$;
• при $\text{(}x=\sqrt{3}\text{)}$, $\text{(}t=4\text{)}$.

Интеграл перепишем в виде: $\text{[}\frac{1}{2}{\int }_1^4\frac{t-1}{t}\frac{dt}{2}=\frac{1}{4}{\int }_1^4(1-\frac{1}{t})dt.\text{]}$

Рассмотрим каждый интеграл отдельно:

1. $\text{(}{\int }_1^{4}1dt=t{|}_1^4=4-1=3\text{)}.$
2. $\text{(}{\int }_1^4\frac{1}{t}dt=\ln |t|{|}_1^4=\ln (4)-\ln (1)=\ln 4\text{)}.$

Объединяя эти результаты, получаем: $\text{[}\frac{1}{4}(3-\ln 4).\text{]}$

Окончательно: $\text{[}{\int }_0^{\sqrt{3}}x\arctan (x)dx=\frac{\pi }{2}-\frac{1}{4}(3-\ln 4).\text{]}$