Применяя формулу интегрирования по частям найти следующие определенные интегралы

Это задание по математике, раздел – интегральное исчисление.

Для решения данного определенного интеграла необходимо применить формулу интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид: \[ \int_{a}^{b} u \, dv = \left. u \cdot v \right|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} v \, du. \]

Рассмотрим интеграл: \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} x \arctan(x) \, dx. \] Выберем \(u = \arctan(x)\) и \(dv = x \, dx\). Тогда \(du = \frac{1}{1+x^2} \, dx\) и \(v = \frac{x^2}{2}\).

Теперь применим формулу интегрирования по частям: \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} x \arctan(x) \, dx = \left. \arctan(x) \cdot \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{\sqrt{3}} - \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx. \]

Рассчитаем первую часть: \[ \left. \arctan(x) \cdot \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{\sqrt{3}} = \left(\arctan(\sqrt{3}) \cdot \frac{(\sqrt{3})^2}{2}\right) - \left(\arctan(0) \cdot \frac{0^2}{2}\right). \]

Известно, что \( \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \) и \( \arctan(0) = 0 \). Подставим эти значения: \[ \left(\frac{\pi}{3} \cdot \frac{3}{2}\right) - (0 \cdot 0) = \frac{\pi}{2}. \]

Теперь решим второй интеграл: \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x^2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^2}{1+x^2} \, dx. \] Используем замену переменных \( t = 1 + x^2 \), тогда \(dt = 2x \, dx\). Так как \(x=\sqrt{t-1}\), то пределы интегрирования изменятся следующим образом:

• при \(x = 0\), \(t = 1\);
• при \(x = \sqrt{3}\), \(t = 4\).

Интеграл перепишем в виде: \[ \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{t-1}{t} \, \frac{dt}{2} = \frac{1}{4} \int_{1}^{4} \left( 1 - \frac{1}{t} \right) \, dt. \]

Рассмотрим каждый интеграл отдельно:

1. \( \int_{1}^{4} 1 \, dt = t \bigg|_{1}^{4} = 4 - 1 = 3 \).
2. \( \int_{1}^{4} \frac{1}{t} \, dt = \ln|t| \bigg|_{1}^{4} = \ln(4) - \ln(1) = \ln 4 \).

Объединяя эти результаты, получаем: \[ \frac{1}{4} \left( 3 - \ln 4 \right). \]

Окончательно: \[ \int_{0}^{\sqrt{3}} x \arctan(x) \, dx = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{4} \left( 3 - \ln 4 \right). \]