Представить в алгебраической форме комплексное число

Предмет: Математический анализ

Раздел: Комплексные числа

Рассмотрим задание 4:
Представить в алгебраической форме комплексное число
\left( \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{2} - i\sqrt{2}} \right)^{40}.

Решение:

Шаг 1. Приведение к тригонометрической форме.

1. Числитель:
   Комплексное число \sqrt{3} + i.
   Его модуль:
   |z| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2.

Аргумент:
\phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}.

Тогда числитель в тригонометрической форме:
\sqrt{3} + i = 2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right).

2. Знаменатель:
   Комплексное число \sqrt{2} - i\sqrt{2}.
   Его модуль:
   |z| = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2.

Аргумент:
\phi = \arctan\left(\frac{\text{Im}}{\text{Re}}\right) = \arctan\left(\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{\pi}{4}.

Тогда знаменатель в тригонометрической форме:
\sqrt{2} - i\sqrt{2} = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right).

3. Деление чисел в тригонометрической форме:
    \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{2} - i\sqrt{2}} = \frac{2\left(\cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6}\right)}{2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)} = \cos\left(\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right). 

Сокращаем модуль и вычисляем аргумент:
\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{5\pi}{12}.

Итак:
\frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{2} - i\sqrt{2}} = \cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}.

Шаг 2. Возведение в степень.

Комплексное число в тригонометрической форме:
\left(\cos\frac{5\pi}{12} + i\sin\frac{5\pi}{12}\right)^{40}.

Формула Муавра:
\left(\cos\phi + i\sin\phi\right)^n = \cos(n\phi) + i\sin(n\phi).

Подставляем:
\phi = \frac{5\pi}{12}, \, n = 40.

 \cos\left(40 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) + i\sin\left(40 \cdot \frac{5\pi}{12}\right) = \cos\left(\frac{200\pi}{12}\right) + i\sin\left(\frac{200\pi}{12}\right). 

Упростим аргумент:
\frac{200\pi}{12} = \frac{100\pi}{6} = \frac{50\pi}{3}.

Так как аргумент периодичен с периодом 2\pi, найдем остаток от деления:
\frac{50\pi}{3} \div 2\pi = \frac{50}{6} \approx 8.33.
Целая часть — 8. Умножаем:
8 \cdot 2\pi = \frac{48\pi}{3}.

Вычитаем:
\frac{50\pi}{3} - \frac{48\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.

Итак, аргумент:
\frac{2\pi}{3}.

Шаг 3. Итоговое выражение.

\left( \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{2} - i\sqrt{2}} \right)^{40} = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}.

Перевод в алгебраическую форму:
\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}, \, \sin\frac{2\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.

Итак:
\left( \frac{\sqrt{3} + i}{\sqrt{2} - i\sqrt{2}} \right)^{40} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Ответ:
-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}.