Пределы и свойства числовых последовательностей

Предмет: Математический анализ

Раздел: Пределы и свойства числовых последовательностей

Дано:
Последовательность x_n задана выражением:
x_n = \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n (-1)^{n+1} + \sin \frac{n}{4} + \frac{4}{n}

Требуется найти:

1. \lim\limits_{n \to \infty} x_n
2. \limsup\limits_{n \to \infty} x_n
3. \liminf\limits_{n \to \infty} x_n
4. \sup x_n
5. \inf x_n

Решение:

1. Исследуем предел \lim\limits_{n \to \infty} x_n

Рассмотрим слагаемые:

• \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n — известно, что \lim\limits_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n = e.
  Тогда \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n (-1)^{n+1} осциллирует между \pm e.
• \sin \frac{n}{4} — это осциллирующая функция в пределах [-1,1].
• \frac{4}{n} \to 0 при n \to \infty.

Так как сумма первых двух слагаемых осциллирует, то предела последовательности x_n не существует.

2. Найдём \limsup\limits_{n \to \infty} x_n и \liminf\limits_{n \to \infty} x_n

• Максимальное значение достигается, когда \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n (-1)^{n+1} \approx e и \sin \frac{n}{4} \approx 1, то есть
  \limsup\limits_{n \to \infty} x_n = e + 1.
• Минимальное значение достигается, когда \left(1 + \frac{1}{n} \right)^n (-1)^{n+1} \approx -e и \sin \frac{n}{4} \approx -1, то есть
  \liminf\limits_{n \to \infty} x_n = -e - 1.

3. Найдём \sup x_n и \inf x_n

Так как последовательность осциллирует, её верхняя грань (супремум) — это \sup x_n = e + 1, а нижняя грань (инфимум) — \inf x_n = -e - 1.

Ответ:

1. \lim\limits_{n \to \infty} x_n не существует.
2. \limsup\limits_{n \to \infty} x_n = e + 1.
3. \liminf\limits_{n \to \infty} x_n = -e - 1.
4. \sup x_n = e + 1.
5. \inf x_n = -e - 1.