Предел функции

Условие:

Найти предел  функции:

Решение:

Этот предел является классическим примером, и его решение основано на знаменитой предельной теореме, связанной с числом \(e\). Сначала воспользуемся свойством степеней для того, чтобы преобразовать выражение к более удобному виду. Дано: \[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x \] Перепишем выражение, используя степень \( \frac{x}{2} \), и воспользуемся свойствами степеней: \[ \lim_{x \to \infty} \left(\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right)^2 \] Теперь рассмотрим только внутренний предел: \[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}} \] Этот предел в точности соответствует стандартной форме определения числа \(e\) как предела: \[ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \] Следовательно, если мы заменим \(x\) на \( \frac{x}{2} \), мы получим: \[ e^2 = \lim_{\frac{x}{2} \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{x}{2}}\right)^{\frac{x}{2}} \] Используя аналогичное преобразование \(n = \frac{x}{2}\), при \(x \to \infty\), \(n\) также стремится к бесконечности, и мы получаем: \[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = \left(\lim_{\frac{x}{2} \to \infty} \left(1 + \frac{1}{\frac{x}{2}}\right)^{\frac{x}{2}}\right)^2 = e^2 \] Итак, окончательный ответ: \[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2 \]