Определение предмета и раздела
Это задание относится к математическому анализу и теме приближения функций, в частности, речь идет о построении полинома Ньютона для приближения суммы
\(
S_n
\), которая выражена как
\(
S_n = \sum_{j=1}^{n} (2j - 1)^2
\).
Пояснение задания
- Нужно построить полином Ньютона для суммы \(
S_n = \sum_{j=1}^{n} (2j - 1)^2
\).
- Мы видим, что это квадратные числа для каждого \(
j
\):
\[
(2j - 1)^2 = 1^2, 3^2, 5^2, 7^2, \dots
\]
То есть это последовательность квадратов нечетных чисел.
- Найдем значения суммы \(
S_n
\) для нескольких значений \(
n
\):
- При \(
n = 1
\):
\(
S_1 = (2\cdot1 - 1)^2 = 1
\)
- При \(
n = 2
\):
\(
S_2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10
\)
- При \(
n = 3
\):
\(
S_3 = 1^2 + 3^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35
\)
- При \(
n = 4
\):
\(
S_4 = 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 = 1 + 9 + 25 + 49 = 84
\)
Теперь построим полином Ньютона, используя интерполяцию по этим узлам.
Шаг 1. Таблица разделенных разностей
Для построения полинома используем метод разделенных разностей. Для начала соберем таблицу:
- \(
P(1) = 1, \ P(2) = 10, \ P(3) = 35, \ P(4) = 84
\)
Вычисляем первые разности:
- \[
f[2, 1] = \frac{S_2 - S_1}{2 - 1} = \frac{10 - 1}{1} = 9
\]
- \[
f[3, 2] = \frac{S_3 - S_2}{3 - 2} = \frac{35 - 10}{1} = 25
\]
- \[
f[4, 3] = \frac{S_4 - S_3}{4 - 3} = \frac{84 - 35}{1} = 49
\]
Примерное значение второй разности:
- \[
f[3, 2, 1] = \frac{25 - 9}{3 - 1} = \frac{16}{2} = 8
\]
- \[
f[4, 3, 2] = \frac{49 - 25}{4 - 2} = \frac{24}{2} = 12
\]
И третья разность:
- \[
f[4, 3, 2, 1] = \frac{12 - 8}{4 - 1} = \frac{4}{3}
\]
Шаг 2. Полином Ньютона
Теперь мы можем записать полином:
\[
S_n = P_3(n) = 1 + 9(n - 1) + 8(n - 1)(n - 2) + \frac{4}{3}(n - 1)(n - 2)(n - 3)
\]
Шаг 3. Выбор правильного ответа
Из предложенных вариантов верный — первый:
\[
S_n = 1 + 9(n - 1) + 8(n - 1)(n - 2) + \frac{4}{3}(n - 1)(n - 2)(n - 3)
\]