Построить графики следующих функций с точками разрыва на одном листе и дополнительно построить их асимптоты

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций, построение графиков, асимптоты, точки разрыва)

Задание:

Построить графики следующих функций с точками разрыва на одном листе и дополнительно построить их асимптоты:

Вариант 1:

1. \[\frac{x}{x + 1}\]
2. \[\frac{\ln x}{x - 3}\]
3. \[\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\]

Пояснение к функциям:

1. Функция \[\frac{x}{x + 1}\]

• Область определения: \[x \neq -1\] (знаменатель не должен быть равен нулю)
• Тип разрыва: Разрыв второго рода (полюс) в точке \[x = -1\]
• Вертикальная асимптота: \[x = -1\]
• Горизонтальная асимптота: При \[x \to \pm\infty\], \[\frac{x}{x+1} \to 1\]

2. Функция \[\frac{\ln x}{x - 3}\]

• Область определения: \[x > 0,\ x \neq 3\] (логарифм определён только при положительном аргументе, и знаменатель не равен нулю)
• Тип разрыва: Разрыв второго рода в точке \[x = 3\]
• Вертикальная асимптота: \[x = 3\]
• Приближение: Поведение около разрыва можно изучить через пределы

3. Функция \[\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\]

• Разложение числителя и знаменателя:

 \[ x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1), \quad x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \] 

• Сокращаем \[(x + 1)\], получаем:

 \[ \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x + 1)(x^2 - x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}, \quad x \neq -1 \] 

• Область определения: \[x \neq \pm 1\]
• Разрыв в точке x = -1 — устранимый (после сокращения)
• Разрыв в точке x = 1 — полюс (разрыв второго рода)
• Вертикальная асимптота: \[x = 1\]

Построение в Excel:

Шаги:

1. Создайте таблицу значений x от -10 до 10 с шагом 0.1 (исключая точки разрыва).
2. В соседних столбцах вычислите значения функций с использованием формул Excel:
   • Для \[\frac{x}{x + 1}\]:

     =A2/(A2+1)

   • Для \[\frac{\ln x}{x - 3}\]:

     =IF(AND(A2>0, A2<>3), LN(A2)/(A2 - 3), NA())

   • Для \[\frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}\]:

     =(A2^3 + 1)/(A2^2 - 1)

3. Постройте графики всех трёх функций на одном графике.
4. Добавьте линии асимптот:
   • Вертикальные: используйте тип графика "линия" с постоянным x (например, x = -1, x = 1, x = 3)
   • Горизонтальные: например, линия y = 1 для первой функции

Вывод:

Все три функции имеют точки разрыва, которые сопровождаются либо вертикальными асимптотами, либо устранимыми разрывами. Построение графиков и асимптот позволяет визуально проанализировать поведение функции в окрестностях этих точек.