Построить график функции с помощью дифференциального исчисления

Пример 1:

Построить график функции с помощью дифференциального исчисления:

Решение от преподавателя:

1. Функция определена при всех x, кроме х=1 т.е.

2.  Исследуем функцию на четность и нечетность.

Находим:

Т.к. f(–x) = f(x), то данная функция не является четной;

т.к.  f(–x) ¹ – f(x), то функция не является нечетной.

Следовательно, f(x) – функция является функцией общего вида.

Функция не является периодической.

3. Так как     x = 1 – точка разрыва данной функции. Находим односторонние пределы функции в этой точке:

Выясним теперь поведение функции на бесконечности:

4.

1. Т.к. x = 1– точка разрыва данной функции и односторонние пределы в этой точке равны бесконечности то прямая x = 2 – вертикальная асимптота.
2. Т.к. при x ® ± ¥ значения данной функции стремятся к 0 (см. п. 3), то– горизонтальная асимптота у=0.
3. Выясним, имеет ли график данной функции наклонные асимптоты. Находим:

Уравнения наклонной асимптоты нет.

5. Уравнение f(x) = 0

x = 0 - точка пересечения с осью ОХ (0,0).

Найдем точку пересечения с осью ОУ

Р₂ (0; 0) - точка пересечения графика функции с осью ОУ.

Следовательно, функция имеет одну критические точки: x =-1. Они разбивают всю числовую прямую на два интервала:

Определим знак производной f'(x) на каждом из этих интервалов (для этого берем в каждом из интервалов произвольное значение x и вычисляем при нем значение производной):

f'(x) < 0 на первом  интервале

f'(x) >0 на втором интервале.

Значит,

• на интервале (-∞; -1) функция строго убывает,
• на интервале (-1; +∞) – строго возрастает.

Т.к. точка x ≈-1 принадлежит области определения функции и в этой точке f'(x) меняет знак с «-» на «+», то x =-1 – точка минимума, причем

Для удобства все результаты исследования функции на экстремум сведем в таблицу:

7. Найдем вторую производную данной функции:

8.Строим график функции.

 

                    

Пример 2:

Построить график функции с помощью дифференциального исчисления.

Решение от преподавателя:

1. Область определения функции

D(f) = -2 < x <2

2.  Исследуем функцию на четность и нечетность.

Проверим выполнения равенства: f(–x) = f(x),

Т.к. f(–x) = f(x), то данная функция является четной;

Функция не является периодической.

3. Так как  x = -2 – точка разрыва данной функции. Находим односторонние пределы функции в этой точке:

Так как     x = 2 – точка разрыва данной функции. Находим односторонние пределы функции в этой точке:

Выясним теперь поведение функции на бесконечности:

4.

1. Т.к. x = -2 – точка разрыва данной функции и односторонние пределы в этой точке равны бесконечности то прямая x = -2 – вертикальная асимптота.

Т.к. x = 2 – точка разрыва данной функции и односторонние пределы в этой точке равны бесконечности то прямая x = 2 – вертикальная асимптота.

2. Т.к. при x --> ± ∞ значения данной функции стремятся к ∞ (см. п. 3), то – горизонтальной асимптоты нет.
3. Выясним, имеет ли график данной функции наклонные асимптоты. Находим:

Наклонной асимптоты нет

5. Уравнение f(x) = 0

точка пересечения с осью ОХ (-1,0); (1,0).

Найдем точку пересечения с осью ОУ

- точка пересечения графика функции с осью ОУ.

6. Найдем первую производную данной функции:

Следовательно, функция имеет одну критические точки: x =0. Она разбивают всю числовую прямую на два интервала: (–∞ ; 0) и (0; +∞).

Определим знак производной f'(x) на каждом из этих интервалов (для этого берем в каждом из интервалов произвольное значение x и вычисляем при нем значение производной):

• f'(x) >0 на первом интервале
• f'(x)  <0 на втором интервале.

Значит, на интервалах (–∞ ; 0) функция строго возрастает, а на интервале ( 0; +∞) – строго убывает.

Т.к. точка x ≈ 0 принадлежит области определения функции и в этой точке f'(x) меняет знак с «+» на «-», то x = 0 – точка максимума, причем

Для удобства все результаты исследования функции на экстремум сведем в таблицу:

7. Найдем вторую производную данной функции:

8.Строим график функции.