Построить график функции

Пример 1:

Построить график функции.

Решение от преподавателя:

1. Функция определена при всех x, кроме х=1 т.е.

2. Исследуем функцию на четность и нечетность.

Находим:

Т.к. f(–x) = f(x), то данная функция не является четной;

т.к. то функция не является нечетной.

Следовательно, f(x) – функция является функцией общего вида.

Функция не является периодической.

3. Так как x = 1 – точка разрыва данной функции. Находим односторонние пределы функции в этой точке:

Выясним теперь поведение функции на бесконечности:

Т.к. x = 1 – точка разрыва данной функции и односторонние пределы в этой точке равны бесконечности то прямая
x = 1 – вертикальная асимптота.
Т.к. при значения данной функции стремятся к ∞ (см. п. 3), то – горизонтальной асимптоты нет.
Выясним, имеет ли график данной функции наклонные асимптоты. Находим:

Уравнение наклонной асимптоты:

5. Уравнение f(x) = 0

точка пересечения с осью Ox (3;0).

Найдем точку пересечения с осью ОУ

точка пересечения графика функции с осью ОУ.

6. Найдем первую производную данной функции:

Следовательно, функция имеет две критические точки: x = 3 и х= -1. Они разбивают всю числовую прямую на три интервала:.

Определим знак производной f'(x) на каждом из этих интервалов (для этого берем в каждом из интервалов произвольное значение x и вычисляем при нем значение производной):

f'(x) > 0 на первом и третьем интервале

f'(x) < 0 на втором интервале.

Значит, на интервалах функция строго возрастает, а на интервале (-1;3) – строго убывает.

Т.к. точка x =-1 принадлежит области определения функции и в этой точке f'(x) меняет знак с «+» на «-», то x = -1 – точка максимума, причем

y_max = f(-1) = -2

Т.к. точка x = принадлежит области определения функции и в этой точке f'(x) меняет знак с «-» на «+», то x = 3 – точка минимума, причем

y_min = f(3) = 0

Для удобства все результаты исследования функции на экстремум сведем в таблицу:

7. Найдем вторую производную данной функции:

При x <1 y′′<0, то есть функция выпукла вверх, При x>1 y′′>0, то есть функция выпукла вниз.

8.Строим график функции.

Пример 2:

Построить график функции.

Решение от преподавателя:

1. Функция определена при всех x,

D(f) = R

2. Исследуем функцию на четность и нечетность.

Находим:

Т.к. f(–x) ≠ f(x), то данная функция не является четной;

т.к. f(–x) ≠ f(x), то функция не является нечетной.

Следовательно, f(x) – функция является функцией общего вида.

Функция не является периодической.

3. Точек разрыва данная функция не имеет.

Выясним теперь поведение функции на бесконечности:

Т.к. при x –> + ∞ значения данной функции стремятся к ∞ (см. п. 3), то– горизонтальной асимптоты справа нет.
Т.к. при x –> - ∞ значения данной функции стремятся к 0 (см. п. 3), то– горизонтальной асимптоты слева у=0.
Выясним, имеет ли график данной функции наклонные асимптоты. Находим:

наклонной асимптоты: нет