Построение графиков

Предмет: Математика

Раздел: Анализ функций, Построение графиков, Рациональные и экспоненциальные функции

Задача: Построить график функции $\text{(}y=\frac{1}{e^2-x}\text{)}$.

Перед тем как построить график, давайте разберем его свойства и шаги:

1. Анализ функции:

Функция $\text{(}y=\frac{1}{e^2-x}\text{)}$ — дробно-рациональная функция, где числитель равен $\text{(}1\text{)}$, а знаменатель $\text{(}{e}^2-x\text{)}$.

• $\text{(}{e}^2\text{)}$ — это математическая константа, равная $\text{(}{e}^2\approx 7.389\text{)}$, где $\text{(}e\approx 2.718\text{)}$ (число Эйлера).
• Функция не определена, если знаменатель равен нулю. Это произойдет при $\text{(}{e}^2-x=0\text{)}$, то есть $\text{(}x=e^2\text{)}$. Таким образом: $\text{[}x=e^2\approx 7.389\text{]}$ — это вертикальная асимптота графика (значение, при котором функция стремится к бесконечности).
• Точка разрыва: при $\text{(}x=e^2\text{)}$ функция неопределена.

2. Поведение функции при разных значениях $\text{(}x\text{)}:$

• Если $\text{Double exponent: use braces to clarify}$ (приближаемся к $\text{(}{e}^2\text{)}$ с левой стороны), то $\text{(}{e}^2-x\to +0\text{)}$, а значит, $\text{(}y\to +\mathrm{\infty }\text{)}$.
• Если $\text{Double exponent: use braces to clarify}$ (приближаемся к $\text{(}{e}^2\text{)}$ с правой стороны), то $\text{(}{e}^2-x\to -0\text{)}$, а значит, $\text{(}y\to -\mathrm{\infty }\text{)}$.
• При $\text{(}x\to \pm \mathrm{\infty }\text{)}:$
  • Если $\text{(}x\to \mathrm{\infty }\text{)}$, то $\text{(}{e}^2-x\to -\mathrm{\infty }\text{)}$, а $\text{(}y\to 0^{-}\text{)}$ (стремится к нулю с отрицательной стороны).
  • Если $\text{(}x\to -\mathrm{\infty }\text{)}$, то $\text{(}{e}^2-x\to +\mathrm{\infty }\text{)}$, а $\text{(}y\to 0^{+}\text{)}$ (стремится к нулю с положительной стороны).

3. Точки пересечения с осями координат:

• С осью $\text{(}Oy\text{)}:$ Подставляем $\text{(}x=0\text{)}:$ $\text{[}y=\frac{1}{e^2-0}=\frac{1}{e^2}\approx 0.135\text{]}$ Точка пересечения: $\text{(}(0,0.135)\text{)}$.
• С осью $\text{(}Ox\text{)}:$ Чтобы найти пересечение с $\text{(}Ox\text{)}$, нужно решить $\text{(}\frac{1}{e^2-x}=0\text{)}$. Эта дробь равна нулю только если числитель $\text{(}1=0\text{)}$, что невозможно. Точек пересечения с осью $\text{(}Ox\text{)}$ нет.

4. Асимптоты:

• Вертикальная асимптота: $\text{(}x=e^2\approx 7.389\text{)}$ (функция уходит в бесконечность).
• Горизонтальная асимптота: $\text{(}y=0\text{)}$ (функция стремится к нулю при $\text{(}x\to \pm \mathrm{\infty }\text{)}$).

5. Построение графика:

1. Возьмем несколько значений $\text{(}x\text{)}$ слева и справа от асимптоты $\text{(}x=e^2\approx 7.389\text{)}$ и вычислим соответствующие $\text{(}y\text{)}$.
2. Таблица значений:

$\text{[}\overline{)\begin{array}{cc}x& y\\ 0& \frac{1}{e^2}\approx 0.135\\ 3& \frac{1}{e^2-3}\approx 0.198\\ 6& \frac{1}{e^2-6}\approx 0.5\\ 7& \frac{1}{e^2-7}\approx 1.001\\ 7.3& \frac{1}{e^2-7.3}\approx 3.44\\ 7.38& \frac{1}{e^2-7.38}\approx 100\\ 7.4& \frac{1}{e^2-7.4}\approx -83.\end{array}}\text{]}$

Теперь мы знаем основные характеристики графика. Построим его, описав процесс: