Предмет: Математика
Раздел: Анализ функций, Построение графиков, Рациональные и экспоненциальные функции
Задача: Построить график функции \( y = \frac{1}{e^2 - x} \).
Перед тем как построить график, давайте разберем его свойства и шаги:
1. Анализ функции:
Функция \( y = \frac{1}{e^2 - x} \) — дробно-рациональная функция, где числитель равен \( 1 \), а знаменатель \( e^2 - x \).
- \( e^2 \) — это математическая константа, равная \( e^2 \approx 7.389 \), где \( e \approx 2.718 \) (число Эйлера).
- Функция не определена, если знаменатель равен нулю. Это произойдет при \( e^2 - x = 0 \), то есть \( x = e^2 \). Таким образом:
\[ x = e^2 \approx 7.389 \] — это вертикальная асимптота графика (значение, при котором функция стремится к бесконечности).
- Точка разрыва: при \( x = e^2 \) функция неопределена.
2. Поведение функции при разных значениях \( x \):
- Если \( x \to e^2^- \) (приближаемся к \( e^2 \) с левой стороны), то \( e^2 - x \to +0 \), а значит, \( y \to +\infty \).
- Если \( x \to e^2^+ \) (приближаемся к \( e^2 \) с правой стороны), то \( e^2 - x \to -0 \), а значит, \( y \to -\infty \).
- При \( x \to \pm\infty \):
- Если \( x \to \infty \), то \( e^2 - x \to -\infty \), а \( y \to 0^- \) (стремится к нулю с отрицательной стороны).
- Если \( x \to -\infty \), то \( e^2 - x \to +\infty \), а \( y \to 0^+ \) (стремится к нулю с положительной стороны).
3. Точки пересечения с осями координат:
- С осью \( Oy \): Подставляем \( x = 0 \):
\[ y = \frac{1}{e^2 - 0} = \frac{1}{e^2} \approx 0.135 \]
Точка пересечения: \( (0, 0.135) \).
- С осью \( Ox \): Чтобы найти пересечение с \( Ox \), нужно решить \( \frac{1}{e^2 - x} = 0 \).
Эта дробь равна нулю только если числитель \( 1 = 0 \), что невозможно. Точек пересечения с осью \( Ox \) нет.
4. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: \( x = e^2 \approx 7.389 \) (функция уходит в бесконечность).
- Горизонтальная асимптота: \( y = 0 \) (функция стремится к нулю при \( x \to \pm\infty \)).
5. Построение графика:
- Возьмем несколько значений \( x \) слева и справа от асимптоты \( x = e^2 \approx 7.389 \) и вычислим соответствующие \( y \).
- Таблица значений:
\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & y \\
\hline
0 & \frac{1}{e^2} \approx 0.135 \\
3 & \frac{1}{e^2 - 3} \approx 0.198 \\
6 & \frac{1}{e^2 - 6} \approx 0.5 \\
7 & \frac{1}{e^2 - 7} \approx 1.001 \\
7.3 & \frac{1}{e^2 - 7.3} \approx 3.44 \\
7.38 & \frac{1}{e^2 - 7.38} \approx 100 \\
\hline
7.4 & \frac{1}{e^2 - 7.4} \approx -83. \\
\end{array}
\]