Пользуясь правилом Лопиталя найти пределы функций

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, пределы функций

Рассмотрим оба предела, пользуясь правилом Лопиталя.

a) Найти предел \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{1-x}}

Обратим внимание, что выражение x^{1-x} в степени становится неопределённостью вида 1^0. Упростим выражение, взяв натуральный логарифм:

 \ln\left(x^{1-x}\right) = (1-x)\ln(x). 

Теперь предел принимает вид:

 \lim_{x \to 1} \ln(x^{1-x}) = \lim_{x \to 1} (1-x)\ln(x). 

Это неопределённость вида 0 \cdot (-\infty). Преобразуем её в дробь:

 \lim_{x \to 1} (1-x)\ln(x) = \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{1-x}}. 

Применим правило Лопиталя, так как числитель и знаменатель стремятся к бесконечности:

1. Производная числителя: \ln(x) \to \frac{1}{x}.
2. Производная знаменателя: \frac{1}{1-x} \to \frac{-1}{(1-x)^2}.

Подставим производные:

 \lim_{x \to 1} \frac{\ln(x)}{\frac{1}{1-x}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{(1-x)^2}} = \lim_{x \to 1} \frac{-(1-x)^2}{x}. 

При x \to 1, выражение -(1-x)^2 стремится к 0, а знаменатель x стремится к 1. Таким образом, предел равен:

 \lim_{x \to 1} \ln(x^{1-x}) = 0. 

Следовательно, x^{1-x} \to e^0 = 1, и:

 \lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{1-x}} = \frac{1}{1} = 1. 

Ответ: 1.

b) Найти предел \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{1 - \cos(4x)}

Обратим внимание, что при x \to 0 числитель и знаменатель стремятся к 0: это неопределённость вида \frac{0}{0}. Применим правило Лопиталя:

1. Производная числителя: 4x^2 \to 8x.
2. Производная знаменателя: 1 - \cos(4x) \to 4\sin(4x).

Подставим производные:

 \lim_{x \to 0} \frac{4x^2}{1 - \cos(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{8x}{4\sin(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin(4x)}. 

Так как \sin(4x) \approx 4x при x \to 0, то:

 \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\sin(4x)} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{4x} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}. 

Ответ: \frac{1}{2}.

Итоговые ответы:

a) 1
b) \frac{1}{2}