Показать, что функция дифференцируема в точке

Определение предмета и раздела

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (дифференцируемость функции)

Задание

Рассмотрим пункт 61(2):
Показать, что функция
f(x) = \sqrt{x - 2}
дифференцируема в точке x = 2.

Разбор решения

1. Определение дифференцируемости функции

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x_0, если существует её производная в этой точке, то есть предел разностного отношения:

 \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} 

Если этот предел существует и конечен, то функция дифференцируема в точке x_0.

2. Вычисление производной по определению

Подставляем нашу функцию f(x) = \sqrt{x - 2} и точку x_0 = 2:

 \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sqrt{(2 + h) - 2} - \sqrt{2 - 2}}{h} 

Упрощаем выражение под корнем:

 \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\sqrt{h}}{h} 

Представим \frac{\sqrt{h}}{h} как \frac{1}{\sqrt{h}}:

 \lim\limits_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{h}} 

3. Анализ предела

Когда h \to 0^+ (то есть h стремится к нулю справа), \sqrt{h} тоже стремится к нулю, но остается положительным. Тогда \frac{1}{\sqrt{h}} стремится к бесконечности.

Это означает, что предел не существует в конечном виде, а значит, функция не дифференцируема в точке x = 2.

Вывод

Функция f(x) = \sqrt{x - 2} не дифференцируема в точке x = 2, так как её производная в этой точке стремится к бесконечности.