Подробно исследовать функцию

Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ (исследование функций)

Давайте подробно исследуем функцию ( y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 ).

1. Точки пересечения с осями координат

Для нахождения точек пересечения функции с осями координат:

1.1 Пересечение с осью ( ОY ) (когда ( x = 0 )):

Подставляем ( x = 0 ) в функцию: [ y = \left(\frac{0}{0+5}\right)^2 = 0 ] Точка пересечения с осью ( OY ): ( (0, 0) ).

1.2 Пересечение с осью ( OX ) (когда ( y = 0 )):

Рассматриваем условие: [ \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 = 0 ] Решаем уравнение: [ \frac{x}{x+5} = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 ] Точка пересечения с осью ( OX ): ( (0, 0) ).

2. Положительные и отрицательные значения функции

Функция ( y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 ) является квадратом выражения ( \frac{x}{x+5} ). Квадрат любого числа всегда неотрицателен (( y \geq 0 )). Таким образом, функция принимает только положительные значения или равна нулю.

3. Периодичность функции

Функция ( y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 ) не является периодической, потому что выражение ( \frac{x}{x+5} ) не имеет повторяющегося характера. Следовательно, функция не периодическая.

4. Первая производная

Найдем первую производную функции ( y = \left(\frac{x}{x+5}\right)^2 ) с помощью правила производной сложной функции.

Обозначим: [ u = \frac{x}{x+5}, \quad y = u^2 ]

Производная ( y = u^2 ): [ y' = 2u \cdot u' ]

Теперь найдем ( u' ), где ( u = \frac{x}{x+5} ). Используем правило производной частного: [ u' = \frac{(x+5) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x+5)^2} = \frac{5}{(x+5)^2} ]

Подставляем ( u = \frac{x}{x+5} ) и ( u' ) в выражение для ( y' ): [ y' = 2 \cdot \frac{x}{x+5} \cdot \frac{5}{(x+5)^2} = \frac{10x}{(x+5)^3} ]

Итак, первая производная: [ y' = \frac{10x}{(x+5)^3} ]

5. Вторая производная

Для нахождения второй производной ( y'' ), дифференцируем ( y' = \frac{10x}{(x+5)^3} ) по ( x ). Используем правило производной частного.

Обозначим: [ v = 10x, \quad w = (x+5)^3 ]

Производная ( \frac{v}{w} ): [ \left(\frac{v}{w}\right)' = \frac{v' \cdot w - v \cdot w'}{w^2} ]

Найдем ( v' ) и ( w' ): [ v' = 10, \quad w' = 3(x+5)^2 ]

Подставляем: [ \left(\frac{10x}{(x+5)^3}\right)' = \frac{10 \cdot (x+5)^3 - 10x \cdot 3(x+5)^2}{(x+5)^6} ]

Упрощаем числитель: [ 10(x+5)^3 - 30x(x+5)^2 = 10(x+5)^2 \left((x+5) - 3x\right) = 10(x+5)^2 \cdot (-2x+5) ]

Получаем: [ y'' = \frac{10(x+5)^2 \cdot (-2x+5)}{(x+5)^6} ]

Сокращаем ( (x+5)^2 ): [ y'' = \frac{10(-2x+5)}{(x+5)^4} ]

Итак, вторая производная: [ y'' = \frac{10(-2x+5)}{(x+5)^4} ]

Итоговое исследование функции

1. Точки пересечения с осями координат: ( (0, 0) ).
2. Функция принимает только положительные значения (( y \geq 0 )).
3. Функция не является периодической.
4. Первая производная: ( y' = \frac{10x}{(x+5)^3} ).
5. Вторая производная: ( y'' = \frac{10(-2x+5)}{(x+5)^4} ).