Определение предмета и раздела: Это задача по математическому анализу, раздел комплексный анализ. Нам необходимо найти вещественную часть аналитической функции \( f(z) = u(y, x) + iv(y, x) \) по заданной мнимой части функции.
Анализ задания:
Дана мнимая часть функции \( v(x, y) = \frac{-y}{x^2 + y^2} \), и нам нужно определить вещественную часть \( u(x, y) \). Пусть \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \), где \( z = x + iy \). Также известно, что для аналитической функции выполняются условия Коши — Римана: \[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{и} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\]
Выполнение задания:
- Найдем частные производные \( v(x, y) \):
\[
v(x, y) = \frac{-y}{x^2 + y^2}
\]
Теперь находим частные производные от \( v \):
\[
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot 0 - (-y) \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}
\]
\[
\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot (-1) - (-y) \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-(x^2 + y^2) + 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\]
- Используем условия Коши — Римана:
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
\]
Это даёт нам:
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\]
Также второе условие:
\[
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\]
Это даёт:
\[
\frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}
\]
Теперь посмотрим на функции-кандидаты в ответах и их частные производные, которые должны совпадать с найденными частными производными \( u \).
Проверка каждого ответа:
1) \( u = \frac{x}{x^2 + y^2} \)
\[
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{(x^2 + y^2) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^2 + y^2 - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-x^2 + y^2}{(x^2 + y^2)^2}
\]
\[
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{0 - x \cdot 2y}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{-2xy}{(x^2 + y^2)^2}
\]
Эти частные производные совпадают с нужными нам частными производными, следовательно, первый вариант является правильным.
Ответ: Правильный ответ — 1) \( u = \frac{x}{x^2 + y^2} \).