Перейдите к полярным координатам в двойном интеграле

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (дифференциальные формы)

Задача: Восстановить функцию ( U(x, y) ) по её полному дифференциалу.

Дан полный дифференциал функции:

dU = \left(-\frac{2y^2}{x^3} - 2y \sin 2x\right) dx + \left(\frac{2y}{x^2} + \cos 2x + y\right) dy.

Для восстановления функции ( U(x, y) ), необходимо выполнить интегрирование сначала по одной из переменных (например, ( x )), а затем проверить, чтобы результат удовлетворял полному дифференциалу.

Шаг 1. Интегрируем по ( x )

Рассмотрим первый член полного дифференциала:

\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{2y^2}{x^3} - 2y \sin 2x.

Интегрируем по ( x ):

 U(x, y) = \int \left(-\frac{2y^2}{x^3} - 2y \sin 2x\right) dx. 

1. Интеграл от ( -\frac{2y^2}{x^3} ): \int -\frac{2y^2}{x^3} dx = \frac{y^2}{x^2}.\

2. Интеграл от ( -2y \sin 2x ): \int -2y \sin 2x dx = y \cos 2x.\

Таким образом, частичный результат:

U(x, y) = \frac{y^2}{x^2} + y \cos 2x + C(y),

где ( C(y) ) — произвольная функция от ( y ), так как при интегрировании по ( x ) она считается константой.

Шаг 2. Проверяем производную по ( y )

Теперь найдём частную производную ( \frac{\partial U}{\partial y} ) и приравняем её к второму члену полного дифференциала:

\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y^2}{x^2} + y \cos 2x + C(y)\right).\

1. Производная от ( \frac{y^2}{x^2} ): \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{y^2}{x^2}\right) = \frac{2y}{x^2}.\

2. Производная от ( y \cos 2x ): \frac{\partial}{\partial y} \left(y \cos 2x\right) = \cos 2x.\

3. Производная от ( C(y) ): \frac{\partial}{\partial y} C(y) = C'(y).\

Итого:

\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{2y}{x^2} + \cos 2x + C'(y).\

Приравниваем к второму члену полного дифференциала:

\frac{2y}{x^2} + \cos 2x + C'(y) = \frac{2y}{x^2} + \cos 2x + y.\

Отсюда:

C'(y) = y.\

Интегрируем по ( y ):

C(y) = \frac{y^2}{2} + C,\

где ( C ) — произвольная константа.

Шаг 3. Записываем итоговую функцию

Подставляем ( C(y) ) в выражение для ( U(x, y) ):

U(x, y) = \frac{y^2}{x^2} + y \cos 2x + \frac{y^2}{2} + C.\

Ответ:

U(x, y) = \frac{y^2}{x^2} + y \cos 2x + \frac{y^2}{2} + C,\

где ( C ) — произвольная константа.