Переход от декартовых координат к полярным для нахождения двойного интеграла по заданной области

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, двойные интегралы в полярных координатах

Данное задание требует перехода от декартовых координат к полярным для нахождения двойного интеграла по заданной области. Убедимся, что область $\text{(}D\text{)}$ — это разность областей $\text{(}A\text{)}$ и $\text{(}B\text{)}$. Область $\text{(}A\text{)}$ это круг с центром в точке $\text{(}(3,-4)\text{)}$ радиусом $\text{(}\sqrt{21+6\cdot 3-8\cdot (-4)}=\sqrt{21+18+32}=\sqrt{71}\text{)}$, а область $\text{(}B\text{)}$ задана неравенствами $\text{(}x\text{leqsl}3\text{)}$ и $\text{(}y\le -4\text{)}$.

Построение перехода к полярным координатам

Для начала перейдем к полярным координатам, используя стандартные замены:

• $\text{[}x=r\cos \theta \text{]}$
• $\text{[}y=r\sin \theta \text{]}$

Является удобным найти границы для полярных координат $\text{(}r\text{)}$ и $\text{(}\theta \text{)}$. Область $\text{(}A\text{)}$ в полярных координатах:

• $\text{[}(x-3{)}^2+(y+4{)}^2\le 71\text{]}$

Переписывание интеграла в полярных координатах

1. Замена в подынтегральном выражении. Подынтегральное выражение $\text{(}4x+3y\text{)}$ становится:

   • $\text{[}4(r\cos \theta )+3(r\sin \theta )=r(4\cos \theta +3\sin \theta )\text{]}$

2. Замена дифференциалов $\text{(}dxdy\text{)}$ в полярные координаты дает $\text{(}rdrd\theta \text{)}$.

3. Получаем двойной интеграл:

   • $\text{[}{\iint }_D(4x+3y)dxdy={\iint }_D{r}^2(4\cos \theta +3\sin theta)drd\theta \text{]}$

Области интегрирования в полярных координатах

Чтобы получить область интегрирования в полярных координатах, необходимо все границы прописать в этих координатах. Это немного сложнее и требует более детального анализа, но предполагается, что в диапазоне углов область должна быть описана в пределах от 0 до $\text{(}2\pi \text{)}$ (в общем случае), a $\text{(}r\text{)}$ варьируется от 0 до $\text{(}\sqrt{71}\text{)}$.

Интегрирование:

• $\text{[}{\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\sqrt{7}}{r}^2(4\cos \theta +3\sin \theta )drd\theta \text{]}$
• Производим интегрирование по $\text{(}r\text{)}$:
  • $\text{[}{\int }_0^{\pi }\left({\left[\frac{r^3}{3}\right]}_0^{\sqrt{71}}\right)(4\cos \theta +3\sin \theta )d\theta ={\int }_0^{\pi }\frac{{71}^{3/2}}{3}(4\cos \theta +3\sin \theta )d\theta \text{]}$
• Производим интегрирование по $\text{(}\theta \text{)}$:
  • $\text{[}=\frac{{71}^{3/2}}{3}{[4\sin \theta -3\cos \theta ]}_0^{\pi }=\frac{{71}^{3/2}}{3}(2(4(0)-3(-1))-2(4(0)-3(1)))=\frac{{71}^{3/2}}{3}\ast 3={71}^{3/2}\text{]}$
• Итак, числовое решение представленного интеграла: $\text{[}{71}^{3/2}\text{]}$