Переход от декартовых координат к полярным для нахождения двойного интеграла по заданной области

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ, двойные интегралы в полярных координатах

Данное задание требует перехода от декартовых координат к полярным для нахождения двойного интеграла по заданной области. Убедимся, что область \( D \) — это разность областей \( A \) и \( B \). Область \( A \) это круг с центром в точке \((3, -4)\) радиусом \( \sqrt{21 + 6 \cdot 3 - 8 \cdot (-4)} = \sqrt{21 + 18 + 32} = \sqrt{71} \), а область \( B \) задана неравенствами \( x \leqsl 3 \) и \( y \leq -4 \).

Построение перехода к полярным координатам

Для начала перейдем к полярным координатам, используя стандартные замены:

• \[ x = r\cos \theta \]
• \[ y = r\sin \theta \]

Является удобным найти границы для полярных координат \( r \) и \( \theta \). Область \(A\) в полярных координатах:

• \[ (x-3)^2 + (y+4)^2 \leq 71 \]

Переписывание интеграла в полярных координатах

1. Замена в подынтегральном выражении. Подынтегральное выражение \(4x + 3y\) становится:

   • \[ 4(r\cos \theta) + 3(r\sin \theta) = r(4\cos \theta + 3\sin \theta) \]

2. Замена дифференциалов \( dx dy \) в полярные координаты дает \( r \, dr \, d\theta \).

3. Получаем двойной интеграл:

   • \[ \iint_D (4x + 3y) \, dx \, dy = \iint_D r^2(4\cos \theta + 3\sin theta) \, dr \, d\theta \]

Области интегрирования в полярных координатах

Чтобы получить область интегрирования в полярных координатах, необходимо все границы прописать в этих координатах. Это немного сложнее и требует более детального анализа, но предполагается, что в диапазоне углов область должна быть описана в пределах от 0 до \(2\pi\) (в общем случае), a \(r\) варьируется от 0 до \( \sqrt{71} \).

Интегрирование:

• \[ \int_0^\pi \int_0^{\sqrt{7}} r^2 (4\cos\theta + 3\sin\theta) \, dr \, d\theta \]
• Производим интегрирование по \( r \):
  • \[ \int_0^{\pi}\left( \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^{\sqrt{71}}\right) (4\cos\theta + 3\sin\theta) \, d\theta = \int_0^{\pi}\frac{71^{3/2}}{3}(4\cos\theta + 3\sin\theta) \, d\theta \]
• Производим интегрирование по \( \theta \):
  • \[ = \frac{71^{3/2}}{3} \left[4\sin\theta - 3\cos\theta\right]_0^\pi = \frac{71^{3/2}}{3} \left(2(4(0) - 3(-1))-2(4(0)-3(1))\right)= \frac{71^{3/2}}{3}*3=71^{3/2} \]
• Итак, числовое решение представленного интеграла: \[71^{3/2}\]