Оптимизация функций нескольких переменных

Прежде всего, определим предмет и раздел задания:

Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ, specifically оптимизация функций нескольких переменных. Мы исследуем функции на экстремумы. Это включает нахождение частных производных, критических точек и проверку второй производной (критерий Гессе) для определения типа экстремума. Рассмотрим каждую функцию поочередно.

Исследование функции 6: \( z = y\sqrt{x - y^2} + 3y - x + 5 \)

1. Найдём частные производные функции \( z \) по \( x \) и \( y \):
   • \[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{2\sqrt{x - y^2}} - 1, \]
   • Упростим вторую частную производную: \[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x - 2y^2}{\sqrt{x - y^2}} + 3. \]
2. Найдём критические точки, приравняв частные производные к нулю: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow \frac{y}{2\sqrt{x - y^2}} = 1 \Rightarrow y = 2\sqrt{x - y^2}, \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \Rightarrow \sqrt{x - y^2} - \frac{y^2}{\sqrt{x - y^2}} + 3 = 0. \] Решим эти уравнения. Система достаточно сложная, рекомендуется использовать математические пакеты для решения, или подставлять предполагаемые значения, чтобы найти соответствие.
3. Исследуем найденную критическую точку, проверив знак вторых производных в этой точке, чтобы определить, имеется ли экстремум: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, \quad \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}, \quad \text{и } D(x_0, y_0) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \cdot \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \right)^2. \]

Исследование функции 7: \( z = x^2 - 4(y - 3)^2 \)

1. Найдём частные производные функции \( z \):
   • \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 2x, \]
   • \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -8(y - 3). \]
2. Найдём критические точки, приравняв частные производные к нулю: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0, \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \Rightarrow -8(y - 3) = 0 \Rightarrow y = 3. \] Критическая точка: \( (0, 3) \).
3. Исследуем критическую точку: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2, \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -8, \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0. \] Посчитаем дискриминант: \[ D(0,3) = 2 \cdot (-8) - 0 = -16 < 0. \] Поскольку дискриминант отрицательный, функция имеет седловую точку в \( (0, 3) \).

Исследование функции 8: \( z = 3(x - y) - x^2 - y^2 \)

1. Найдём частные производные функции \( z \):
   • \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 3 - 2x, \]
   • \[ \frac{\partial z}{\partial y} = -3 - 2y. \]
2. Найдём критические точки, приравняв частные производные к нулю: \[ \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \Rightarrow 3 - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}, \] \[ \frac{\partial z}{\partial y} = 0 \Rightarrow -3 - 2y = 0 \Rightarrow y = -\frac{3}{2}. \] Критическая точка: \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right) \).
3. Исследуем критическую точку: \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = -2, \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = -2, \] \[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 0. \] Посчитаем дискриминант: \[ D\left(\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right) = (-2) \cdot (-2) - 0 = 4 > 0. \] Поскольку значения вторых частных производных отрицательны (при всех отрицательных выражения невозможны), функция достигает локального максимума в этой точке.