Определить знак производной функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (производные и их приближенные значения)

Дано:

Необходимо определить знак производной функции ( \operatorname{arctg} x ) в точке ( x_0 ), если приближенное значение производной функции ( \operatorname{arctg} x ) в точке ( x_0 = -100 ) равно некоторому числу.

Решение:

Формула производной функции ( \operatorname{arctg} x ) имеет вид:
\frac{d}{dx} \operatorname{arctg} x = \frac{1}{1 + x^2}

Подставим ( x_0 = -100 ):
f'(-100) = \frac{1}{1 + (-100)^2} = \frac{1}{1 + 10000} = \frac{1}{10001}

Так как \frac{1}{10001} > 0, то производная положительна.

Ответ:

Знак производной функции ( \operatorname{arctg} x ) в точке ( x_0 = -100 ) положительный.