Определить вид экстремума на экстремали используя достаточное условие Лежандра

Предмет: Математический анализ
Раздел: Варинциальное исчисление (Вариационное исчисление)

Дано функционал:

 I[y] = \int_0^2 \frac{1}{y'} \, dx \to \text{extr}, \quad y(0) = 0, \quad y(2) = 2 

Шаг 1. Определим функцию под интегралом

Обозначим

 F(x, y, y') = \frac{1}{y'} 

Шаг 2. Найдем производные функции F по y и y'

• F_y = \frac{\partial}{\partial y} \frac{1}{y'} = 0, так как F не зависит от y явно.

• F_{y'} = \frac{\partial}{\partial y'} \frac{1}{y'} = -\frac{1}{(y')^2}

• F_{y'y'} = \frac{\partial}{\partial y'} \left(-\frac{1}{(y')^2}\right) = \frac{2}{(y')^3}

Шаг 3. Найдем экстремаль

Уравнение Эйлера-Лагранжа:

 \frac{d}{dx} F_{y'} - F_y = 0 \implies \frac{d}{dx} \left(-\frac{1}{(y')^2}\right) = 0 

Отсюда

 -\frac{1}{(y')^2} = C = \text{const} 

Значит,

 y' = \pm \frac{1}{\sqrt{-C}} 

Пусть y' = k = \text{const}. Тогда интегрируя:

 y = kx + b 

Используем граничные условия:

 y(0) = b = 0, \quad y(2) = 2k = 2 \implies k = 1 

Экстремаль:

 y = x 

Шаг 4. Проверка условия Лежандра

Достаточное условие Лежандра для экстремума:

 F_{y'y'}(x, y, y') \geq 0 \quad \text{для минимума}, \quad F_{y'y'}(x, y, y') \leq 0 \quad \text{для максимума} 

Подставим y' = 1:

 F_{y'y'} = \frac{2}{(y')^3} = \frac{2}{1^3} = 2 > 0 

Вывод:

Поскольку F_{y'y'} > 0, по достаточному условию Лежандра функционал достигает минимума на экстремали y = x.

Ответ: экстремаль y = x является точкой минимума функционала.