Определить тип особой точки функции

Предмет и раздел

Это задание принадлежит области математического анализа, разделу комплексный анализ. Необходимо проанализировать особую точку функции \( f(z) \) и определить её тип.

Функция

Дана функция:

\[ f(z) = \frac{(z i^2 - 1)^4}{z^4} \]

Решение

Шаг 1. Упростим вид функции

Преобразуем выражение для функции. Учитывая, что \( i^2 = -1 \), имеем:

\[ zi^2 - 1 = z(-1) - 1 = -z - 1. \]

Следовательно, функция принимает вид:

\[ f(z) = \frac{(-z - 1)^4}{z^4}. \]

Шаг 2. Особая точка

Очевидно, особая точка находится в \( z = 0 \), так как знаменатель равен нулю.

Шаг 3. Тип особой точки

Определим развитие функции в окрестности \( z = 0 \) и классифицируем особую точку.

1. Перепишем \( f(z) \) как:

\[ f(z) = \frac{(-1)^4 (z + 1)^4}{z^4} = \frac{(z + 1)^4}{z^4}. \]

2. Раскроем \( (z+1)^4 \) по биномиальной формуле:

\[ (z+1)^4 = z^4 + 4z^3 + 6z^2 + 4z + 1. \]

Подставим:

\[ f(z) = \frac{z^4 + 4z^3 + 6z^2 + 4z + 1}{z^4}. \]

Разделим каждое слагаемое:

\[ f(z) = 1 + \frac{4}{z} + \frac{6}{z^2} + \frac{4}{z^3} + \frac{1}{z^4}. \]

3. Видно, что в разложении \( f(z) \) есть члены с отрицательными степенями \( z \). Это говорит о том, что в \( z = 0 \) функция имеет полюс.

Шаг 4. Порядок полюса

В разложении самый старший член с отрицательной степенью — это \( \frac{1}{z^4} \). Следовательно, в точке \( z = 0 \) функция \( f(z) \) имеет полюс четвёртого порядка.

Ответ:

Особая точка \( z = 0 \) — это полюс четвёртого порядка.