Предмет: Математика (раздел - математический анализ, дифференциальное и интегральное исчисление).
Задание 2:
Задание: Существует ли первообразная для функции
\( f(x) \), где
\[ f(x) = \begin{cases} 1, & x > 0, \\ -1, & x \leq 0? \]
Решение: Для того чтобы функция имела первообразную, она должна быть непрерывной на всём множестве определения. Рассмотрим функцию
\( f(x) \), которая определяется по-разному для значений
\( x > 0 \) и
\( x \leq 0 \).
- Найдём разрыв функции. Для этого исследуем поведение \( f(x) \) при пересечении точки \( x = 0 \):
\[ f(0^-) = -1, \quad f(0^+) = 1. \]
Как видим, слева от нуля функция принимает значение \( -1 \), а справа — \( 1 \). В точке \( x = 0 \) наблюдается разрыв второго рода, так как левый и правый пределы функции в этой точке отличаются.
- Вывод: Поскольку функция \( f(x) \) имеет разрыв второго рода в точке \( x = 0 \), она не является непрерывной, а значит, не существует такой функции, которая могла бы быть её первообразной на всём множестве.
Ответ: Функция
\( f(x) \) не имеет первообразной.
Задание 3:
Задание: Имеет ли функция
\( f(x) = |x| \) первообразную на промежутке
\( (-1, 1) \)?
Решение: Рассмотрим функцию
\( f(x) = |x| \). Данная функция является разрывной в точке
\( x = 0 \).
- Исследуем функцию на участке \( x \in (-1, 1) \):
\[ f(x) = \begin{cases} -x, & x < 0, \\ x, & x > 0. \]
- Функция \( f(x) \) имеет разрыв в производной в точке \( x = 0 \):
\[ f'(x) = \begin{cases} -1, & x < 0, \\ 1, & x > 0. \]
В точке \( x = 0 \) производная \( f'(x) \) не определена, так как она разрывна (левый и правый пределы у производной различны: \( f'(0^-) = -1 \), а \( f'(0^+) = 1 \)).
- Тем не менее, несмотря на разрыв в производной, сама функция \( |x| \) непрерывна на всём промежутке \( (-1, 1) \). А это значит, что первообразная для такой функции существует, так как разрыв в производной не нарушает существование первообразной у непрерывной функции.
- Примером первообразной функции для \( f(x) = |x| \) может быть:
\[ F(x) = \begin{cases} \frac{x^2}{2}, & x > 0, \\ -\frac{x^2}{2}, & x < 0. \]
Это одна из возможных первообразных для \( f(x) = |x| \).
Ответ: Функция
\( |x| \) имеет первообразную на промежутке
\( (-1, 1) \).