Определить сходится ли ряд Фурье для четной функции, имеющей период 2п иравной х при 0 < х < п

Это задание относится к курсу математического анализа, разделу "Ряды Фурье".

Решение:

Установление четности функции:

Данная функция \( f(x) \) имеет период \( 2\pi \) и определена как: \[ f(x) = x, \quad \text{при } 0 < x < \pi \] Мы видим, что \( f(x) \) определена только на интервале \( (0, \pi) \). Поскольку функция является четной, ее график будет симметричен относительно оси ординат во всем периоде \( 2\pi \). Для периода \( 2\pi \) определить функцию для других значений \( x \): \[ f(x) = x, \quad 0 < x < \pi \] \[ f(x) = -x, \quad -\pi < x < 0 \]

Ряд Фурье четной функции:

Для четной функции \( f(x) \) ряд Фурье имеет только косинусные члены: \[ f(x) \sim \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx) \] где коэффициенты \( a_n \) вычисляются следующим образом: \[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \] \[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]

Вычисление коэффициентов \( a_n \):

\( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{1/{\pi} \int_{-{\pi}}^{\pi} f(x) \, dx \] Поскольку функция \( f(x) \) четная: \[ a_0 = \frac{2/{\pi} \int_{0}^{\pi} x \, dx = \frac{2/{\pi} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{\pi} = \frac{2/{\pi}} \cdot \frac{{\pi}^2/2} = {\pi} \]

\( a_n \) для \( n \geq 1 \):

\[ a_n = \frac{2/{\pi} \int_{0}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \] Для вычисления этого интеграла используем интеграцию по частям. Пусть: \[ u = x, \quad dv = \cos(nx) \, dx \] Тогда: \[ du = dx, \quad v = \frac{\sin(nx)}{n} \] Применение интеграции по частям: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] \[ a_n = \frac{2/{\pi} \left[ x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n} \, dx \] Первый член равен: \[ \left[ x \cdot \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = \frac{{\pi \sin(n\pi)}/{n} - {0 \cdot \sin(0)}/{n} = 0 \] так как \( \sin(n\pi) = 0 \) для всех целых \( n \). Второй член: \[ -\int_{0}^{\pi} \frac{\sin(nx)}{n} \, dx = -\frac{1}{n} \left[ \frac{-\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} = -\frac{1/{n^2}} \left[ -\cos(n\pi) + \cos(0) \right] = -\frac{1/{n^2}} \left[ (-1)^n - 1 \right] \] Следовательно: \[ a_n = -\frac{2/{\pi}} \cdot \frac{2/{n^2}} \left( (-1)^n - 1 \right) = \frac{4/{\pi n^2}} \left( 1 - (-1)^n \right) \] Для четных \( n \), \( a_n = 0 \). Для нечетных \( n \), \( a_n = \frac{8/{\pi n^2}} \).

Условия равномерной сходимости:

Ряд Фурье для периода \( 2\pi \) равномерно сходится к \( f(x) \) на всем \( \mathbb{R} \), если \( f(x) \) непрерывна на периоде. Поскольку в нашей функции \( f(x) = x \) на интервале \((0, \pi)\) и \(f(0)\) и \(f(\pi)\) непрерывны, ряд Фурье будет сходиться равномерно для всех \( x \in \mathbb{R} \). Соответственно, ряд Фурье для данной четной функции сходится равномерно по \( x \in \mathbb{R} \).

Ответ:

Да, ряд Фурье для данной четной функции сходится равномерно по \( x \in \mathbb{R} \).