Определить сходится ли ряд

Этот вопрос касается предмета "Математика", раздела "Математический анализ" или "Теория рядов". Мы рассматриваем вопрос о сходимости ряда $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\text{)}$. Рассмотрим ряд: $\text{[}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n.\text{]}$ Для изучения сходимости ряда необходимо проверить сходимость частичных сумм $\text{(}{S}_N\text{)}$ этого ряда. Частичная сумма $\text{(}{S}_N\text{)}$ до $\text{(}N\text{)}$-ого члена ряда определяется следующим образом: $\text{[}{S}_N=\sum _{n=1}^N(-1{)}^n.\text{]}$ Для конкретных значений $\text{(}N\text{)}$:

• Если $\text{(}N\text{)}$ четное число (например, $\text{(}N=2\text{)}$), то: $\text{[}{S}_2=(-1{)}^1+(-1{)}^2=-1+1=0.\text{]}$
• Если $\text{(}N\text{)}$ нечетное число (например, $\text{(}N=3\text{)}$), то: $\text{[}{S}_3=(-1{)}^1+(-1{)}^2+(-1{)}^3=-1+1-1=-1.\text{]}$

Таким образом, видно, что частичные суммы $\text{(}{S}_N\text{)}$ встречаются двумя вариантами:

• Когда $\text{(}N\text{)}$ четное, сумма равна нулю.
• Когда $\text{(}N\text{)}$ нечетное, сумма равна $\text{(}-1\text{)}$.

Это означает, что частичные суммы $\text{(}{S}_N\text{)}$ ряда $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\text{)}$ не приближаются к определенному числу по мере увеличения $\text{(}N\text{)}$. Вместо этого они меняются между 0 и -1. Поскольку частичные суммы $\text{(}{S}_N\text{)}$ ряда не имеют предела, сам ряд не сходится. Таким образом, ряд $\text{(}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\text{)}$ не сходится.