Определить сходится ли ряд

Этот вопрос касается предмета "Математика", раздела "Математический анализ" или "Теория рядов". Мы рассматриваем вопрос о сходимости ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\). Рассмотрим ряд: \[ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n. \] Для изучения сходимости ряда необходимо проверить сходимость частичных сумм \(S_N\) этого ряда. Частичная сумма \(S_N\) до \(N\)-ого члена ряда определяется следующим образом: \[ S_N = \sum_{n=1}^{N} (-1)^n. \] Для конкретных значений \(N\):

• Если \(N\) четное число (например, \(N = 2\)), то: \[ S_2 = (-1)^1 + (-1)^2 = -1 + 1 = 0. \]
• Если \(N\) нечетное число (например, \(N = 3\)), то: \[ S_3 = (-1)^1 + (-1)^2 + (-1)^3 = -1 + 1 - 1 = -1. \]

Таким образом, видно, что частичные суммы \(S_N\) встречаются двумя вариантами:

• Когда \(N\) четное, сумма равна нулю.
• Когда \(N\) нечетное, сумма равна \(-1\).

Это означает, что частичные суммы \(S_N\) ряда \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\) не приближаются к определенному числу по мере увеличения \(N\). Вместо этого они меняются между 0 и -1. Поскольку частичные суммы \(S_N\) ряда не имеют предела, сам ряд не сходится. Таким образом, ряд \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\) не сходится.