Предмет: Математика, раздел — математический анализ, тема — исследование сходимости рядов.
У нас дан ряд: \[ S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \sin(n \alpha)}{n^2} \]
Нужно определить сходимость данного ряда.
Общая концепция:
Этот ряд является знакопеременным, так как существует чередующийся знак \( (-1)^{n+1} \), и его члены делятся на \( n^2 \), что может говорить о потенциальной сходимости из-за быстрого убывания членов ряда.
Для того чтобы исследовать его сходимость, нужно воспользоваться признаками сходимости знакопеременных рядов и проверить:
-
Признак Лейбница для знакопеременных рядов: Если член положительной части последовательности монотонно убывает и стремится к нулю, то ряд сходится.
-
Признак Абеля: Применяется для ряда вида \( \sum (-1)^n a_n \), если последовательность \( a_n \) положительна, убывает и стремится к нулю.
Проверим сходимость:
-
Мономодули:
Модуль члена ряда:
\[ \left|\frac{(-1)^{n+1} \sin(n\alpha)}{n^2}\right| = \frac{|\sin(n\alpha)|}{n^2} \]
Заметим, что:
- \( |\sin(n\alpha)| \leq 1 \) для всех \( n \) (\( \sin(x) \) находится в пределах от -1 до 1).
- \( \frac{1}{n^2} \) — это сходящаяся последовательность, так как ряд \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \) является сходящимся (это известный ряд, называемый рядом для значений дзета-функции Римана при \( s = 2 \)).
Следовательно:
\[ \frac{|\sin(n\alpha)|}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} \]
А как мы выяснили, ряд \( \sum \frac{1}{n^2} \) сходится.
-
Признак Лейбница:
Чтобы воспользоваться признаком Лейбница для сходимости знакопеременного ряда, проверим условия:
- \( \frac{\sin(n\alpha)}{n^2} \) убывает, так как \( \frac{1}{n^2} \) убывает, а \( \sin(n \alpha) \) ограничена.
- Предел \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sin(n \alpha)}{n^2} = 0 \) (так как \( \frac{1}{n^2} \to 0 \)).
Таким образом, оба условия признака Лейбница выполняются — ряд сходится.
Ответ: