Определить поведение функции в граничных точках области определения для функции

Предмет: Математика

Раздел: Математический анализ (исследование функции)

Задание:

Определить поведение функции в граничных точках области определения для функции \[ y = \frac{1}{x^2 + 3}. \]

Пошаговое решение:

1. Определяем область определения функции:

Функция задана как дробь, где в знаменателе выражение \(x^2 + 3\). Граничные ограничения на область определения можно получить, решая уравнение: \[ x^2 + 3 \neq 0. \] Так как \(x^2 \geq 0\) для всех \(x \in \mathbb{R}\), то выражение \(x^2 + 3\) всегда будет строго положительным (\(x^2 + 3 \geq 3 > 0\)).

Вывод: Область определения функции — это вся числовая прямая, \(x \in \mathbb{R}\). У функции нет точек, где она не определена.

2. Изучаем граничные точки:

Поскольку область определения функции — \(\mathbb{R}\), граничными точками являются \(x \to +\infty\) и \(x \to -\infty\). Рассмотрим предельное поведение функции в этих случаях.

3. Предельное поведение функции:

Функция имеет вид: \[ y = \frac{1}{x^2 + 3}. \]

• При \(x \to +\infty\): При больших положительных значениях \(x\) знаменатель \(x^2 + 3\) становится очень большим (\( \to \infty\)). Следовательно, дробь \(\frac{1}{x^2 + 3}\) стремится к 0: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x^2 + 3} = 0. \]
• При \(x \to -\infty\): Аналогично, при больших отрицательных значениях \(x\) знаменатель \(x^2 + 3\) также становится очень большим (\( \to \infty\)), а дробь стремится к 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^2 + 3} = 0. \]

Вывод: На бесконечностях функция приближается к значению \(0\), но никогда его не достигает.

4. Проверка критических точек внутри области определения:

Функция \(y = \frac{1}{x^2 + 3}\) определена для всех \(x \in \mathbb{R}\), и её поведение определяется знаменателем \(x^2 + 3\). Знаменатель достигает минимума (равного 3) в точке \(x = 0\), так как \(x^2 \geq 0\).

- Подставим \(x = 0\) в функцию, чтобы найти максимальное значение функции: \[ y = \frac{1}{x^2 + 3} = \frac{1}{0^2 + 3} = \frac{1}{3}. \] Таким образом, наибольшее значение функции равно \(\frac{1}{3}\) и достигается в точке \(x = 0\).

5. Графическое поведение функции:

• При приближении к \(\pm\infty\) функция стремится к 0 (горизонтальная асимптота).
• Максимум достигается в точке \(y = \frac{1}{3}\) при \(x = 0\).

Ответ (полное поведение функции):

1. Область определения: \(x \in \mathbb{R}\).
2. Граничные точки: \(\pm\infty\), где функция стремится к 0.
3. Минимальное значение функции — стремление к 0 (на бесконечности).
4. Максимальное значение — \(\frac{1}{3}\), достигается в точке \(x = 0\).

Функция является симметричной относительно оси \(y\) (даже функция), так как \(x^2 + 3\) не зависит от знака \(x\).