Определить порядок малости функции

Предмет: Математика, раздел: Математический анализ, тема: Порядок малости функции.

Задача: Найти порядок малости функции \( f(x) = \ln \left( 1 + \sqrt[4]{2 \tg^3 x} \cdot \sqrt{5 \sin^{11} x} \right) \) в сравнении с \( x \) при \( x \to 0 \).

Шаг 1: Разложение синуса и тангенса при \( x \to 0 \)

Исследуем поведение тангенса и синуса при малых \( x \). Напомним, что при \( x \to 0 \):

\[ \tg x \approx x \quad \text{и} \quad \sin x \approx x. \]

Таким образом, при \( x \to 0 \):

\[ \tg^3 x \sim x^3 \quad \text{и} \quad \sin^{11} x \sim x^{11}. \]

Шаг 2: Упрощение выражения под логарифмом

Теперь упростим выражение под знаком логарифма.

\[ \sqrt[4]{2 \tg^3 x} \sim \sqrt[4]{2 x^3} = (2 x^3)^{1/4} = 2^{1/4} x^{3/4}. \]

\[ \sqrt{5 \sin^{11} x} \sim \sqrt{5 x^{11}} = (5 x^{11})^{1/2} = \sqrt{5} x^{11/2}. \]

Тогда выражение под логарифмом принимает вид:

\[ 1 + \sqrt[4]{2 \tg^3 x} \cdot \sqrt{5 \sin^{11} x} \sim 1 + \left( 2^{1/4} x^{3/4} \right) \left( \sqrt{5} x^{11/2} \right) = 1 + 2^{1/4} \sqrt{5} x^{3/4 + 11/2}. \]

Сложим степени \( x \):

\[ 1 + 2^{1/4} \sqrt{5} x^{3/4 + 11/2} = 1 + 2^{1/4} \sqrt{5} x^{25/4}. \]

Шаг 3: Разложение логарифма

Теперь применим разложение логарифма \( \ln(1 + u) \approx u \), если \( u \to 0 \). В нашем случае \( 2^{1/4} \sqrt{5} x^{25/4} \to 0 \) при \( x \to 0 \), поэтому:

\[ f(x) \sim 2^{1/4} \sqrt{5} x^{25/4}. \]

Шаг 4: Определение порядка малости

Порядок малости функции \( f(x) \) при \( x \to 0 \) по сравнению с \( x \) определяется степенью при \( x \). Мы получили, что \( f(x) \sim C x^{25/4} \), где \( C = 2^{1/4} \sqrt{5} \) — некоторая константа.

\[ \text{Порядок малости} = \frac{25}{4}. \]

Ответ: \( \frac{25}{4} \).