Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Чтобы определить область сходимости данного функционального ряда, мы начнем с анализа общего члена ряда: a_n(x) = 1 / (n^2 + (cos(nx))^2), где n — это номер члена ряда, а x — переменная. Рассмотрим вопрос сходимости данного ряда.
Для изучения сходимости функциональных рядов мы часто используем несколько признаков, как например, признак Вейерштрасса или сравнение с известными рядом. В случае ряда с положительными членами, естественным сначала будет сравнить его с каким-либо известным сходящимся или расходящимся рядом, например, с рядом гармоническим или p-рядом.
Однако заметим, что (cos(nx))^2 колеблется между 0 и 1, поэтому выражение в знаменателе n^2 + (cos(nx))^2 будет всегда положительным и, более того, не меньше n^2. Следовательно, для каждого x:
1 / (n^2 + (cos(nx))^2) ≤ 1 / n^2
С правой стороны у нас биномиальный ряд с p = 2, который сходится. Из этого неравенства мы видим, что наш функциональный ряд по признаку сравнения сходится абсолютно для всех x.
Таким образом, область сходимости данного функционального ряда — это вся область определения x, то есть весь действительный числовой ряд. Нет никаких ограничений на x для сходимости ряда, так что x может принимать любое действительное значение.
Итак, область сходимости: x принадлежит множеству всех действительных чисел.