Определить наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке, а также искать точки перегиба и промежутки выпуклости графиков

Данное задание связано с математическим анализом и дифференциальным исчислением. Мы будем определять наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке, а также искать точки перегиба и промежутки выпуклости графиков.
Задача 57: Надо найти наименьшее и наибольшее значения функций на указанных отрезках.
Эта задача решается с применением производной для поиска критических точек. 1) Функция: \(y=x24x+1\) на отрезке \([3;3]\). Шаг 1: Найдем первую производную функции: \[y=2x4.\] Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю: \[2x4=0x=2.\] Шаг 3: Определим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - При \(x=3\): \[y(3)=(3)24(3)+1=9+12+1=22.\] - При \(x=2\): \[y(2)=224(2)+1=48+1=3.\] - При \(x=3\): \[y(3)=324(3)+1=912+1=2.\] Шаг 4: Сравниваем значения: - Наименьшее значение — \(y=3\) при \(x=2\); - Наибольшее значение — \(y=22\) при \(x=3\). Ответ: Наименьшее значение \(y=3\), наибольшее значение \(y=22\). 2) Функция: \(y=x+3x3\) на отрезке \([1;1]\). Шаг 1: Найдем производную функции: \[y=1+313x23=1+x23.\] Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: \[1+x23=0x23=1(решений нет, так как x23 не может быть отрицательным).\] Шаг 3: Определяем значения функции на концах отрезка: - При \(x=1\): \[y(1)=(1)+313=13=4.\] - При \(x=1\): \[y(1)=1+313=1+3=4.\] Ответ: Наименьшее значение \(y=4\), наибольшее значение \(y=4\). ---
Задача 58: Необходимо найти точки перегиба и промежутки выпуклости функций.
Точки перегиба находятся через нахождение второй производной и анализ её знака. 1) Функция: \(y=x4+8x3+18x23\). Шаг 1: Найдем первую производную: \[y=4x3+24x2+36x.\] Шаг 2: Найдем вторую производную: \[y=12x2+48x+36.\] Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: \[12x2+48x+36=0x2+4x+3=0.\] Решим это квадратное уравнение: \[x1=1,x2=3.\] Шаг 4: Определим выпуклость, проверив знак второй производной слева и справа от точек \(x=1\) и \(x=3\). - Для \(x<3\), например, при \(x=4\), \(y(4)=192>0\), график выпукл вниз. - Для \(3<x<1\), например, при \(x=2\), \(y(2)=12<0\), график выпукл вверх. - Для \(x>1\), например, при \(x=0\), \(y(0)=36>0\), график выпукл вниз. Ответ: Точки перегиба: \(x=1\), \(x=3\). Промежутки выпуклости: \((,3)(1,+)\), промежутки вогнутости: \((3,1)\). 2) Функция: \(y=xln(2x)\). Шаг 1: Найдем первую производную: \[y=ln(2x)+1.\] Шаг 2: Найдем вторую производную: \[y=1x.\] Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: \[1x=0(нет решений).\] Точек перегиба нет. Шаг 4: Определяем выпуклость: - Для \(x>0\), \(y>0\), функция выпукла вниз. - Для \(x<0\), функция не определена. Ответ: Точек перегиба нет. Промежутки выпуклости: \((0,+)\). 3) Функция: \(y=xe4x\). Шаг 1: Найдем первую производную: \[y=e4x4xe4x.\] Шаг 2: Найдем вторую производную: \[y=4e4x+16xe4x=e4x(4+16x).\] Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: \[e4x(4+16x)=0,\] так как \(e4x0\), решаем: \[4+16x=0x=14.\] Шаг 4: Проверим знак второй производной на промежутках: - Для \(x<14\), например, при \(x=0\), \(y(0)=4<0\), график выпукл вверх. - Для \(x>14\), например, при \(x=1\), \(y(1)=12>0\), график выпукл вниз. Ответ: Точка перегиба: \(x=14\). Промежутки выпуклости: \((0,14)\), промежутки вогнутости: \((14,+)\).
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку
Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Узнайте стоимость работы онлайн

  • 22423 авторов готовы помочь тебе.
  • 2402 онлайн
Напишем БЕСПЛАТНО любую работу за 30 минут