Данное задание связано с математическим анализом и дифференциальным исчислением. Мы будем определять наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке, а также искать точки перегиба и промежутки выпуклости графиков.
Задача 57: Надо найти наименьшее и наибольшее значения функций на указанных отрезках.
Эта задача решается с применением производной для поиска критических точек.
1) Функция: \( y = x^2 - 4x + 1 \) на отрезке \([-3; 3]\).
Шаг 1: Найдем первую производную функции:
\[ y' = 2x - 4. \]
Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
\[ 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2. \]
Шаг 3: Определим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- При \( x = -3 \):
\[ y(-3) = (-3)^2 - 4(-3) + 1 = 9 + 12 + 1 = 22. \]
- При \( x = 2 \):
\[ y(2) = 2^2 - 4(2) + 1 = 4 - 8 + 1 = -3. \]
- При \( x = 3 \):
\[ y(3) = 3^2 - 4(3) + 1 = 9 - 12 + 1 = -2. \]
Шаг 4: Сравниваем значения:
- Наименьшее значение — \( y = -3 \) при \( x = 2 \);
- Наибольшее значение — \( y = 22 \) при \( x = -3 \).
Ответ: Наименьшее значение \( y = -3 \), наибольшее значение \( y = 22 \).
2) Функция: \( y = x + 3\sqrt[3]{x} \) на отрезке \([-1; 1]\).
Шаг 1: Найдем производную функции:
\[ y' = 1 + 3 \cdot \frac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}} = 1 + x^{-\frac{2}{3}}. \]
Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
\[ 1 + x^{-\frac{2}{3}} = 0 \quad \Rightarrow \quad x^{-\frac{2}{3}} = -1 \quad \text{(решений нет, так как } x^{-\frac{2}{3}} \text{ не может быть отрицательным)}. \]
Шаг 3: Определяем значения функции на концах отрезка:
- При \( x = -1 \):
\[ y(-1) = (-1) + 3\sqrt[3]{-1} = -1 -3 = -4. \]
- При \( x = 1 \):
\[ y(1) = 1 + 3\sqrt[3]{1} = 1 + 3 = 4. \]
Ответ: Наименьшее значение \( y = -4 \), наибольшее значение \( y = 4 \).
---
Задача 58: Необходимо найти точки перегиба и промежутки выпуклости функций.
Точки перегиба находятся через нахождение второй производной и анализ её знака.
1) Функция: \( y = x^4 + 8x^3 + 18x^2 - 3 \).
Шаг 1: Найдем первую производную:
\[ y' = 4x^3 + 24x^2 + 36x. \]
Шаг 2: Найдем вторую производную:
\[ y'' = 12x^2 + 48x + 36. \]
Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
\[ 12x^2 + 48x + 36 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 4x + 3 = 0. \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ x_1 = -1, \quad x_2 = -3. \]
Шаг 4: Определим выпуклость, проверив знак второй производной слева и справа от точек \( x = -1 \) и \( x = -3 \).
- Для \( x < -3 \), например, при \( x = -4 \), \( y''(-4) = 192 > 0 \), график выпукл вниз.
- Для \( -3 < x < -1 \), например, при \( x = -2 \), \( y''(-2) = -12 < 0 \), график выпукл вверх.
- Для \( x > -1 \), например, при \( x = 0 \), \( y''(0) = 36 > 0 \), график выпукл вниз.
Ответ: Точки перегиба: \( x = -1 \), \( x = -3 \). Промежутки выпуклости: \( (-\infty, -3) \cup (-1, +\infty) \), промежутки вогнутости: \( (-3, -1) \).
2) Функция: \( y = x \ln(2x) \).
Шаг 1: Найдем первую производную:
\[ y' = \ln(2x) + 1. \]
Шаг 2: Найдем вторую производную:
\[ y'' = \frac{1}{x}. \]
Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
\[ \frac{1}{x} = 0 \quad \text{(нет решений)}. \]
Точек перегиба нет.
Шаг 4: Определяем выпуклость:
- Для \( x > 0 \), \( y'' > 0 \), функция выпукла вниз.
- Для \( x < 0 \), функция не определена.
Ответ: Точек перегиба нет. Промежутки выпуклости: \( (0, +\infty) \).
3) Функция: \( y = xe^{-4x} \).
Шаг 1: Найдем первую производную:
\[ y' = e^{-4x} - 4xe^{-4x}. \]
Шаг 2: Найдем вторую производную:
\[ y'' = -4e^{-4x} + 16xe^{-4x} = e^{-4x}(-4 + 16x). \]
Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
\[ e^{-4x}(-4 + 16x) = 0, \] так как \( e^{-4x} \neq 0 \), решаем:
\[ -4 + 16x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{4}. \]
Шаг 4: Проверим знак второй производной на промежутках:
- Для \( x < \frac{1}{4} \), например, при \( x = 0 \), \( y''(0) = -4 < 0 \), график выпукл вверх.
- Для \( x > \frac{1}{4} \), например, при \( x = 1 \), \( y''(1) = 12 > 0 \), график выпукл вниз.
Ответ: Точка перегиба: \( x = \frac{1}{4} \). Промежутки выпуклости: \( \left(0, \frac{1}{4}\right) \), промежутки вогнутости: \( \left(\frac{1}{4}, +\infty\right) \).