Данное задание связано с математическим анализом и дифференциальным исчислением. Мы будем определять наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке, а также искать точки перегиба и промежутки выпуклости графиков.
Задача 57: Надо найти наименьшее и наибольшее значения функций на указанных отрезках.
Эта задача решается с применением производной для поиска критических точек.
1) Функция: на отрезке .
Шаг 1: Найдем первую производную функции:
Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю:
Шаг 3: Определим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
- При :
- При :
- При :
Шаг 4: Сравниваем значения:
- Наименьшее значение — при ;
- Наибольшее значение — при .
Ответ: Наименьшее значение , наибольшее значение .
2) Функция: на отрезке .
Шаг 1: Найдем производную функции:
Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
Шаг 3: Определяем значения функции на концах отрезка:
- При :
- При :
Ответ: Наименьшее значение , наибольшее значение .
---
Задача 58: Необходимо найти точки перегиба и промежутки выпуклости функций.
Точки перегиба находятся через нахождение второй производной и анализ её знака.
1) Функция: .
Шаг 1: Найдем первую производную:
Шаг 2: Найдем вторую производную:
Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
Решим это квадратное уравнение:
Шаг 4: Определим выпуклость, проверив знак второй производной слева и справа от точек и .
- Для , например, при , , график выпукл вниз.
- Для , например, при , , график выпукл вверх.
- Для , например, при , , график выпукл вниз.
Ответ: Точки перегиба: , . Промежутки выпуклости: , промежутки вогнутости: .
2) Функция: .
Шаг 1: Найдем первую производную:
Шаг 2: Найдем вторую производную:
Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
Точек перегиба нет.
Шаг 4: Определяем выпуклость:
- Для , , функция выпукла вниз.
- Для , функция не определена.
Ответ: Точек перегиба нет. Промежутки выпуклости: .
3) Функция: .
Шаг 1: Найдем первую производную:
Шаг 2: Найдем вторую производную:
Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
так как , решаем:
Шаг 4: Проверим знак второй производной на промежутках:
- Для , например, при , , график выпукл вверх.
- Для , например, при , , график выпукл вниз.
Ответ: Точка перегиба: . Промежутки выпуклости: , промежутки вогнутости: .