Определить наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке, а также искать точки перегиба и промежутки выпуклости графиков

Данное задание связано с математическим анализом и дифференциальным исчислением. Мы будем определять наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке, а также искать точки перегиба и промежутки выпуклости графиков.

Задача 57: Надо найти наименьшее и наибольшее значения функций на указанных отрезках.

Эта задача решается с применением производной для поиска критических точек. 1) Функция: $\text{(}y=x^2-4x+1\text{)}$ на отрезке $\text{(}[-3;3]\text{)}$. Шаг 1: Найдем первую производную функции: $\text{[}{y}^{\prime }=2x-4.\text{]}$ Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв первую производную к нулю: $\text{[}2x-4=0\Rightarrow x=2.\text{]}$ Шаг 3: Определим значения функции в критической точке и на концах отрезка: - При $\text{(}x=-3\text{)}$: $\text{[}y(-3)=(-3{)}^2-4(-3)+1=9+12+1=22.\text{]}$ - При $\text{(}x=2\text{)}$: $\text{[}y(2)=2^2-4(2)+1=4-8+1=-3.\text{]}$ - При $\text{(}x=3\text{)}$: $\text{[}y(3)=3^2-4(3)+1=9-12+1=-2.\text{]}$ Шаг 4: Сравниваем значения: - Наименьшее значение — $\text{(}y=-3\text{)}$ при $\text{(}x=2\text{)}$; - Наибольшее значение — $\text{(}y=22\text{)}$ при $\text{(}x=-3\text{)}$. Ответ: Наименьшее значение $\text{(}y=-3\text{)}$, наибольшее значение $\text{(}y=22\text{)}$. 2) Функция: $\text{(}y=x+3\sqrt[3]{x}\text{)}$ на отрезке $\text{(}[-1;1]\text{)}$. Шаг 1: Найдем производную функции: $\text{[}{y}^{\prime }=1+3\cdot \frac{1}{3}{x}^{-\frac{2}{3}}=1+x^{-\frac{2}{3}}.\text{]}$ Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $\text{[}1+x^{-\frac{2}{3}}=0\Rightarrow x^{-\frac{2}{3}}=-1\text{(решений нет, так как }{x}^{-\frac{2}{3}}\text{ не может быть отрицательным)}.\text{]}$ Шаг 3: Определяем значения функции на концах отрезка: - При $\text{(}x=-1\text{)}$: $\text{[}y(-1)=(-1)+3\sqrt[3]{-1}=-1-3=-4.\text{]}$ - При $\text{(}x=1\text{)}$: $\text{[}y(1)=1+3\sqrt[3]{1}=1+3=4.\text{]}$ Ответ: Наименьшее значение $\text{(}y=-4\text{)}$, наибольшее значение $\text{(}y=4\text{)}$. ---

Задача 58: Необходимо найти точки перегиба и промежутки выпуклости функций.

Точки перегиба находятся через нахождение второй производной и анализ её знака. 1) Функция: $\text{(}y=x^4+8x^3+18x^2-3\text{)}$. Шаг 1: Найдем первую производную: $\text{[}{y}^{\prime }=4x^3+24x^2+36x.\text{]}$ Шаг 2: Найдем вторую производную: $\text{[}{y}^{″}=12x^2+48x+36.\text{]}$ Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $\text{[}12x^2+48x+36=0\Rightarrow x^2+4x+3=0.\text{]}$ Решим это квадратное уравнение: $\text{[}{x}_1=-1,x_2=-3.\text{]}$ Шаг 4: Определим выпуклость, проверив знак второй производной слева и справа от точек $\text{(}x=-1\text{)}$ и $\text{(}x=-3\text{)}$. - Для $\text{(}x<-3\text{)}$, например, при $\text{(}x=-4\text{)}$, $\text{(}{y}^{″}(-4)=192>0\text{)}$, график выпукл вниз. - Для $\text{(}-3<x<-1\text{)}$, например, при $\text{(}x=-2\text{)}$, $\text{(}{y}^{″}(-2)=-12<0\text{)}$, график выпукл вверх. - Для $\text{(}x>-1\text{)}$, например, при $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}{y}^{″}(0)=36>0\text{)}$, график выпукл вниз. Ответ: Точки перегиба: $\text{(}x=-1\text{)}$, $\text{(}x=-3\text{)}$. Промежутки выпуклости: $\text{(}(-\mathrm{\infty },-3)\cup (-1,+\mathrm{\infty })\text{)}$, промежутки вогнутости: $\text{(}(-3,-1)\text{)}$. 2) Функция: $\text{(}y=x\ln (2x)\text{)}$. Шаг 1: Найдем первую производную: $\text{[}{y}^{\prime }=\ln (2x)+1.\text{]}$ Шаг 2: Найдем вторую производную: $\text{[}{y}^{″}=\frac{1}{x}.\text{]}$ Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $\text{[}\frac{1}{x}=0\text{(нет решений)}.\text{]}$ Точек перегиба нет. Шаг 4: Определяем выпуклость: - Для $\text{(}x>0\text{)}$, $\text{(}{y}^{″}>0\text{)}$, функция выпукла вниз. - Для $\text{(}x<0\text{)}$, функция не определена. Ответ: Точек перегиба нет. Промежутки выпуклости: $\text{(}(0,+\mathrm{\infty })\text{)}$. 3) Функция: $\text{(}y=x{e}^{-4x}\text{)}$. Шаг 1: Найдем первую производную: $\text{[}{y}^{\prime }=e^{-4x}-4x{e}^{-4x}.\text{]}$ Шаг 2: Найдем вторую производную: $\text{[}{y}^{″}=-4e^{-4x}+16x{e}^{-4x}=e^{-4x}(-4+16x).\text{]}$ Шаг 3: Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю: $\text{[}{e}^{-4x}(-4+16x)=0,\text{]}$ так как $\text{(}{e}^{-4x}\ne 0\text{)}$, решаем: $\text{[}-4+16x=0\Rightarrow x=\frac{1}{4}.\text{]}$ Шаг 4: Проверим знак второй производной на промежутках: - Для $\text{(}x<\frac{1}{4}\text{)}$, например, при $\text{(}x=0\text{)}$, $\text{(}{y}^{″}(0)=-4<0\text{)}$, график выпукл вверх. - Для $\text{(}x>\frac{1}{4}\text{)}$, например, при $\text{(}x=1\text{)}$, $\text{(}{y}^{″}(1)=12>0\text{)}$, график выпукл вниз. Ответ: Точка перегиба: $\text{(}x=\frac{1}{4}\text{)}$. Промежутки выпуклости: $\text{(}(0,\frac{1}{4})\text{)}$, промежутки вогнутости: $\text{(}(\frac{1}{4},+\mathrm{\infty })\text{)}$.