Определить, какой формулой задается функция при x < 0, если функция f(x) является: а) четной б) нечетной

Предмет: Математика (Алгебра)

Раздел: Функции и их свойства

Дано: Функция \( f(x) \) задается при \( x > 0 \) равенством: \[ f(x) = 2^{3x - 8} - 20 \]

Необходимо определить, какой формулой задается функция при \( x < 0 \), если функция \( f(x) \) является:

• а) четной
• б) нечетной.

Обсуждение:

Функция является:

• Четной, если \( f(-x) = f(x) \), т.е. функция симметрична относительно оси \( y \).
• Нечетной, если \( f(-x) = -f(x) \), т.е. функция симметрична относительно начала координат.

1. Случай четной функции:

Для четной функции должно выполняться условие \( f(-x) = f(x) \). То есть, если функция четная, то после замены \( x \) на \( -x \), формула для функции должна остаться той же.

Подставим в выражение для функции \( f(x) \) вместо \( x \) значение \( -x \):

\[ f(-x) = 2^{3(-x) - 8} - 20 = 2^{-3x - 8} - 20 \]

Так как функция должна быть четной, то:

\[ f(-x) = f(x) \]

\[ 2^{-3x - 8} - 20 = 2^{3x - 8} - 20 \]

Чтобы правая и левая части оказались равными, это условие должно выполняться для всех \( x \), однако выражения \( 2^{-3x - 8} \) и \( 2^{3x - 8} \) не равны для всех \( x \), кроме частного случая \( x = 0 \).

Вывод: функция не является четной.

2. Случай нечетной функции:

Для нечетной функции должно выполняться условие \( f(-x) = -f(x) \). Подставим в выражение для функции \( f(x) \) значение \( -x \):

\[ f(-x) = 2^{-3x - 8} - 20 \]

Теперь проверим условие для нечетной функции:

\[ f(-x) = -f(x) \]

\[ 2^{-3x - 8} - 20 = -(2^{3x - 8} - 20) \]

\[ 2^{-3x - 8} + 2^{3x - 8} = 40 \]

Этот результат не накладывает противоречий, так как выражение равно при соответствующих значениях \( x \).

Вывод: функция \( f(x) \) нечетная.

Ответ:

Формула функции при \( x < 0 \), если функция нечетная:

\[ f(-x) = -f(x) \]