Предмет: Математика
Раздел: Математический анализ, последовательности и их свойства
Задача:
Определить, какие из последовательностей \((x_n)\) являются ограниченными.
Обоснование понятия:
Последовательность \((x_n)\) называется ограниченной, если существует число \(M > 0\) такое, что для всех \(n \in \mathbb{N}\) выполняется \( |x_n| \leq M \).
Рассмотрим каждую из данных последовательностей:
a) \(x_n = (-1)^n\)
- Последовательность принимает только два значения: \( x_n = 1 \), если \(n\) чётное, и \(x_n = -1\), если \(n\) нечётное.
- Модуль значения \(|x_n| \) равен 1 для любого \(n\).
- Это означает, что последовательность ограничена (ограничена сверху \(M = 1\) и снизу \(-M = -1\)).
б) \(x_n = n^3 + 2n\)
- Анализируем поведение \(x_n\) при больших \(n\). Главный член в выражении \(n^3 + 2n\) — это \(n^3\), и он стремится к бесконечности при \(n \to \infty\).
- Таким образом, последовательность неограничена: её значения неограниченно растут.
Ответ: Неограничена.
в) \(x_n = -\ln n\)
- Натуральный логарифм \( \ln n \) определён для \(n > 0\) и растёт неограниченно, но медленно.
- Перед логарифмом стоит минус, поэтому \(-\ln n\) убывает и стремится к \(-\infty\) при \(n \to \infty\).
- Последовательность неограничена: значения неограниченно убывают.
Ответ: Неограничена.
г) \(x_n = \frac{n+1}{n}\)
- Преобразуем выражение: \[ x_n = \frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n}. \]
- Здесь первый член (\(1\)) постоянен, а второй член (\(\frac{1}{n}\)) стремится к нулю при \(n \to \infty\).
- Таким образом, последовательность стремится к 1 и остаётся ограниченной (например, \(x_n < 2\) для всех \(n\)).
Итоговый ответ:
- a) Ограничена.
- б) Неограничена.
- в) Неограничена.
- г) Ограничена.
Ваш вопрос не содержит Markdown-разметки или формул для преобразования. Пожалуйста, предоставьте текст для обработки, чтобы я мог выполнить поставленную задачу.