Определить к какому значению сходится ее ряд Фурье в точке х = 1

Задача относится к предмету математического анализа, разделу ряда Фурье.

Дано, что функция \( f(x) \) имеет период \( 2\pi \), и она равна 0 при \( -\pi < x < 1 \) и \( x \) при \( 1 < x < \pi \). Требуется найти значение, к которому сходится её ряд Фурье в точке \( x = 1 \). Ряд Фурье для функции \( f(x) \) с периодом \( 2\pi \) определяется как:

\[ f(x) \sim a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n x) + b_n \sin(n x) \right) \]

где коэффициенты \( a_0 \), \( a_n \) и \( b_n \) вычисляются по формулам:

\[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]

Сначала вычислим \( a_0 \):

\[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx \]

Разобьем интеграл на два участка согласно определению функции \( f(x) \):

\[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( \int_{-\pi}^{1} 0 \, dx + \int_{1}^{\pi} x \, dx \right) \]

Поскольку на участке \( -\pi < x < 1 \) функция равна 0, этот интеграл равен нулю:

\[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \left( 0 + \int_{1}^{\pi} x \, dx \right) \]

Теперь вычислим \( \int_{1}^{\pi} x \, dx \):

\[ \int_{1}^{\pi} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{\pi} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{\pi^2 - 1}{2} \]

Подставляем обратно:

\[ a_0 = \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{\pi^2 - 1}{2} = \frac{\pi^2 - 1}{4\pi} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{4\pi} \]

Теперь вычислим \( a_n \):

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{1} 0 \cdot \cos(nx) \, dx + \int_{1}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \right) \]

Первый интеграл снова равен нулю, поэтому остаётся вычислить второй интеграл:

\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{1}^{\pi} x \cos(nx) \, dx \]

Для этого можем использовать интегрирование по частям. Но в данном случае результат интеграла можно проверить и иными методами. Дальше найдем \( b_n \):

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \left( \int_{-\pi}^{1} 0 \cdot \sin(nx) \, dx + \int_{1}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \right) \]

Опять же первый интеграл нулевой, и остаётся:

\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{1}^{\pi} x \sin(nx) \, dx \]

Для вычисления можно использовать методы интегрирования, после чего привести все к ряду Фурье. Теперь рассмотрим сходимость ряда Фурье в точке \( x = 1 \). Если функция непрерывна, то ряд Фурье в этой точке сходится к значению функции. Но так как функция \( f(x) \) имеет скачок в \( x = 1 \):

\[ f(1-) = 0, \quad f(1+) = 1 \]

Ряд Фурье в этой точке (по теореме Дирихле о сходимости тригонометрических рядов) сходится к:

\[ \frac{f(1-) + f(1+)}{2} = \frac{0 + 1}{2} = \frac{1}{2} \]

Следовательно, ряд Фурье этой функции в точке \( x = 1 \) сходится к значению \(\frac{1}{2}\).